Trobeu els valors de x per als quals la sèrie següent és convergent?

Resposta:

#1<>

Explicació:

Quan intenteu determinar el radi i / o l'interval de convergència de sèries de potència com aquestes, és millor utilitzar la prova de ràtio, que ens indica una sèrie # suma_n #, ho deixem

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Si #L <1 # la sèrie és absolutament convergent (i per tant convergent)

Si #L> 1 #, la sèrie divergeix.

Si # L = 1, # la prova de proporció no és concloent.

No obstant això, per a Power Series hi ha tres casos possibles

a. La sèrie de potències convergeix per a tots els nombres reals; el seu interval de convergència és # (- oo, oo) #

b. La sèrie de potències convergeix per a algun nombre # x = a; # el seu radi de convergència és zero.

c. El cas més freqüent, la sèrie de potències convergeix # | x-a |<> amb un interval de convergència de # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Per tant, si # | 2x-3 | <1 #, la sèrie convergeix. Però ho necessitem en el formulari # | x-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # resulta en convergència. El radi de convergència és # R = 1 / 2. #

Ara, determinem l’interval:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Hem de connectar # x = 1, x = 2 # a la sèrie original per veure si tenim convergència o divergència en aquests punts finals.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # divergeix, el summand no té límit i certament no va a zero, només alterna els signes.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # divergeix també per la prova de divergència, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Per tant, la sèrie converge per #1<>

Podem utilitzar la prova de ràtio que diu que si tenim una sèrie

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

és definitivament convergent si:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

En el nostre cas, # a_n = (2x-3) ^ n #, així que comprovem el límit:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) cancel·la ((2x-3)) ^ n)) / cancel ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Per tant, hem de comprovar quan # | 2x-3 | # és inferior a #1#:

Vaig cometre un error aquí, però la resposta anterior té el mateix mètode i la resposta correcta, així que mireu-la.

La funció f es defineix per f: x = 6x-x ^ 2-5 Trobeu el conjunt de valors de x per als quals f (x) <3 he fet trobar x valors que són 2 i 4 Però no sé quina direcció el signe de desigualtat hauria de ser?

X <2 "o" x> 4> "requereixen" f (x) <3 "express" f (x) <0 rArr-x ^ 2 + 6x-5 <3 rArr-x ^ 2 + 6x-8 <0larrcolor (blau) "factor el quadràtic" rArr- (x ^ 2-6x + 8) <0 "els factors de + 8 que sumen a - 6 són - 2 i - 4" rArr- (x-2) (x-4) ) <0 "solve" (x-2) (x-4) = 0 x-2 = 0rArrx = 2 x-4 = 0rArx = 4 rArrx = 2, x = 4larrcolor (blau) "són les intercepcions x" " el coeficient del terme "x ^ 2" "<0rArrnnn rArrx <2" o "x> 4 x a (-oo, 2) uu (4, oo) larrcolor (blau)" en notació d&

Quins són els valors de r (amb r> 0) per als quals convergeix la sèrie?

R <1 / e és la condició per a la convergència de sum_ (n = 1) ^ o ^ ln (n) només contestaré la part sobre la convergència, la primera part ha estat contestada en els comentaris. Podem utilitzar r ^ ln (n) = n ^ ln (r) per reescriure la suma sum_ (n = 1) ^ o n (n) en la forma sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {per} p = -ln (r) La sèrie de la dreta és la forma de sèrie per a la famosa funció zeta de Riemann. És ben sabut que aquesta sèrie convergeix quan p> 1. Usant aquest resultat directament donem -ln (r)> 1 implica ln

Sigui f (x) = 3- (x + 4) + 2x. Com trobeu tots els valors de x per als quals f (x) és com a mínim 6?

X> = 7 Establiu f (x)> = 6 larr "almenys 6" => "major o igual a 6" 3- (x + 4) + 2x> = 6 3-x-4 + 2x> = 6 3-4 + 2x-x> = 6 -1 + x> = 6 x> = 7