Resol per x a RR l’equació sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Resposta:

#x a 5, 10 #

Explicació:

Deixar # u = x-1 #. A continuació, podem reescriure el costat esquerre de l’equació com

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Tingueu en compte la presència de #sqrt (u) # a l’equació i que només busquem valors reals, així que tenim la restricció #u> = 0 #. Amb això, considerem ara tots els casos restants:

Cas 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Per tant # u = 4 # és l’única solució en l’interval #0, 4#

Cas 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Com que es tracta d’una tautologia, tots els valors de #4, 9# és una solució.

Cas 3: #u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Per tant #u = 9 # és l’única solució en l’interval # 9, oo) #

En conjunt, tenim #4, 9# com el conjunt de solucions per a valors reals de # u #. Substitució de #x = u + 1 #, arribem a la solució definitiva establerta #x a 5, 10 #

Mirant el gràfic del costat esquerre, coincideix amb el que podríem esperar: