Suposem que no tinc una fórmula per a g (x), però sé que g (1) = 3 i g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) per a tot x. Com puc utilitzar una aproximació lineal per estimar g (0,9) i g (1,1)?

Voleu amb mi una mica, però implica l’equació d’intercepció de pendents d’una línia basada en la primera derivada … I voldria que us portés a la manera de fer-ho la resposta, no només donar tu la resposta …

Bé, abans d’arribar a la resposta, et deixaré entrar a la discussió (una mica) divertida del meu company d’oficina i jo només tenia …

Jo: "Bé, waitasec … No sabeu g (x), però sabeu que la derivada és certa per a tots (x) … Per què voleu fer una interpretació lineal basada en la derivada? la integral de la derivada, i teniu la fórmula original … No?"

OM: "Espera, què?" llegeix la pregunta anterior "Moly santa, no ho he fet en anys!"

Així doncs, això condueix a una discussió entre nosaltres sobre com integrar-ho, però el que el professor realment vol (probablement) és no fer-vos que feu l’operació inversa (que en alguns casos pot ser realment DUR), però per entendre què el primer derivat en realitat és.

Per tant, ens hem ratllat el cap i hem reflexionat a través de les nostres memòries col·lectives i, finalment, hem acordat que la 2a derivada és el màxim / mínims locals, i la primera derivada (la que us importa) és la pendent de la corba en el punt donat.

Bé, què té a veure amb el preu dels cucs a Mèxic? Bé, si suposem que el pendent es manté relativament constant per a tots els punts "propers" (per saber això, heu de mirar la corba i utilitzar el bon judici basant-se en el que sabeu de les coses, però com que això és el que el vostre professor vol, això és el que aconsegueix!), llavors podem fer una interpolació lineal, que és exactament el que vau demanar!

Bé, llavors, la carn de la resposta:

El pendent (m) de la funció al nostre valor conegut és:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Per tant, el pendent del punt conegut (x = 1) és:

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Recordeu, doncs, que la fórmula d'una línia (necessària per a la interpolació lineal) és:

# y = mx + b #

Això vol dir que per als punts "propers" al nostre valor conegut, podem aproximar els valors com a una línia amb pendent m, i y-intercepció b. o:

#g (x) = mx + b #

#g (x) = 4x + b #

Aleshores, doncs, què és? # b #?

La solucionem utilitzant el nostre valor conegut:

#g (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# b = -1 #

Ara coneixem la fórmula de la línia que s'aproxima a la nostra corba en el punt conegut:

g (x#~=#1) = 4x-1

Per tant, no inserim els nostres punts d’aproximació per obtenir el valor aproximat, o:

#g (0,9) ~ = 4 (0,9) -1 #

#g (0,9) ~ = 3,6-1 #

#g (0.9) ~ = 2.6 #

i

#g (1.1) ~ = 4 (1.1) -1 #

#g (1.1) ~ = 4.4-1 #

#g (1.1) ~ = 3.4 #

Fàcil, oi?