Demostrar que el nombre sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n)) no és racional per a qualsevol nombre natural n superior a 1?

Resposta:

Vegeu l'explicació …

Explicació:

Suposem:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) és racional

Aleshores, el seu quadrat ha de ser racional, és a dir:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

i per tant és així:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n)) #

Podem quadrar i restar repetidament per trobar que el següent ha de ser racional:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):}

Per tant # n = k ^ 2 # per a un nombre enter positiu #k> 1 # i:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Tingues en compte que:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Per tant # k ^ 2 + k-1 # no és el quadrat d’un nombre enter i ni #sqrt (k ^ 2 + k-1) # és irracional, contradient la nostra afirmació que #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # és racional.

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Suposant

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # amb # p / q # no reductible que tinguem

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q

que és absurd, ja que segons aquest resultat, qualsevol arrel quadrada d'un enter positiu és racional.