Què és la antiderivativa de ln x?

Resposta:

# intlnxdx = xlnx-x + C #

Explicació:

La integral (antiderivativa) de # lnx # és interessant, perquè el procés de trobar-lo no és el que esperarias.

Utilitzarem la integració per parts per trobar-la # intlnxdx #:

# intudv = uv-intvdu #

On? # u # i # v # Són funcions de # x #.

Aquí, deixem:

# u = lnx -> (du) / dx = 1 / x-> du = 1 / xdx # i # dv = dx-> intdv = intdx-> v = x #

Fent les substitucions necessàries en la fórmula d’integració per parts, tenim:

# intlnxdx = (lnx) (x) -int (x) (1 / xdx) #

# -> (lnx) (x) -instal·lació (x) (1 / cancelxdx) #

# = xlnx-int1dx #

# = xlnx-x + C -> # (no us oblideu de la constant d’integració!)

Quina diferència hi ha entre una antiderivativa i una integral?

No hi ha diferències, les dues paraules són sinònimes.

Què és la antiderivativa de (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

La resposta és x + arctan (x) Primer nota que: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) es pot escriure com (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = int [1] dx + int [1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = La derivada de arctan (x) és 1 / (1 + x ^ 2). Això implica que l’antiderivativa d’1 / (1 + x ^ 2) és arctan (x) I és per aquesta base que podem escriure: int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan ( x) Per tant, int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int [1 + 1 / (1 + x ^ 2

Què és l'antiderivativa de 1 / sinx?

És -ln abs (cscx + cot x) 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) = (csc ^ 2 x + csc x cotxe x) / (cscx + cotx) El numerador és el contrari (el 'negatiu') de la derivada del denomoinator. De manera que la antiderivativa és menys el logaritme natural del denominador. -ln abs (cscx + bressol x). (Si heu après la tècnica de substitució, podem utilitzar u = cscx + cot x, de manera que du = -csc ^ 2 x - cscx cotx. L’expressió es converteix en -1 / u du.) Podeu verificar aquesta resposta diferenciant .