Què és l'antiderivativa de 1 / sinx?

Resposta:

És # -ln abs (cscx + cot x) #

Explicació:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cotxet x) / (cscx + cotx) #

El numerador és el contrari (el 'negatiu') de la derivada del denomoinador.

De manera que la antiderivativa és menys el logaritme natural del denominador.

# -ln abs (cscx + cot x) #.

(Si heu après la tècnica de substitució, podem utilitzar #u = cscx + bressol x #, tan #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. L’expressió es converteix # -1 / u du #.)

Podeu verificar aquesta resposta diferenciant.

Un enfocament diferent

# int1 / sinxdx # #=#

# intsinx / sin ^ 2xdx #

# intsinx / (1-cos ^ 2x) dx #

Substituïu

# cosx = u #

# -sinxdx = du #

# sinxdx = -du #

#=# # -int1 / (1-u ^ 2) du #

# 1 / (1-u ^ 2) = 1 / ((u-1) (u + 1)) = A / (u-1) + B / (u + 1) # #=#

# (A (u + 1) + B (u-1)) / ((u-1) (u + 1)) #

Necessitem #A (u + 1) + B (u-1) = 1 #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 0u + 1 #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""):} #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 ""):}

Per tant, # -int1 / (1-u ^ 2) du # #=#

# -int ((1/2) / (u-1) - (1/2) / (u + 1)) #=#

# 1 / 2int (1 / (u + 1) -1 / (u-1)) du # #=#

# 1 / 2int (((u + 1) ') / (u + 1) - ((u-1)') / (u-1)) #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (u + 1) / (u-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (cosx + 1) / (cosx-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) #

#ln | tan (x / 2) | + c '#, # (c, c ') ## in ## RR #

Què és la antiderivativa de (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

La resposta és x + arctan (x) Primer nota que: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) es pot escriure com (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = int [1] dx + int [1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = La derivada de arctan (x) és 1 / (1 + x ^ 2). Això implica que l’antiderivativa d’1 / (1 + x ^ 2) és arctan (x) I és per aquesta base que podem escriure: int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan ( x) Per tant, int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int [1 + 1 / (1 + x ^ 2

Com es troba la antiderivativa de e ^ (sinx) * cosx?

Utilitzeu una substitució en u per trobar inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Tingueu en compte que la derivada de sinx és cosx, i com que apareixen en la mateixa integral, aquest problema es resol amb una substitució de u. Sigui u = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx inte ^ sinx * cosxdx es converteixi en: inte ^ udu Aquesta integral avalua a e ^ u + C (perquè la derivada de e ^ u és e ^ u). Però u = sinx, per tant: inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = i ^ sinx + C

Què és la antiderivativa de ln x?

Intlnxdx = xlnx-x + C La integral (antiderivativa) de lnx és interessant, ja que el procés per trobar-lo no és el que esperarias. Usarem integració per parts per trobar intlnxdx: intudv = uv-intvdu On u i v són funcions de x. Aquí, deixem: u = lnx -> (du) / dx = 1 / x-> du = 1 / xdx i dv = dx-> intdv = intdx-> v = x Fer que les substitucions necessàries a la fórmula d’integració per parts, tenim: intlnxdx = (lnx) (x) -int (x) (1 / xdx) -> (lnx) (x) -incancel (x) (1 / cancelxdx) = xlnx-int1dx = xlnx-x + C- > (no us oblideu de la constant d’integració!)