Un con té una alçada de 12 cm i la seva base té un radi de 8 cm. Si el con és tallat horitzontalment en dos segments de 4 cm de la base, quina serà la superfície del segment inferior?

Resposta:

# S.A. = 196pi # # cm ^ 2 #

Explicació:

Aplica la fórmula de la superfície (# S.A.) d’un cilindre amb alçada # h # i radi de base # r #. La pregunta ha afirmat això # r = 8 # # cm explícitament, mentre que ho deixaríem # h # ser #4# # cm ja que la pregunta està demanant # S.A. del cilindre inferior.

# S.A. = 2pi * r ^ 2 + 2pi * r * h = 2pi * r * (r + h) #

Connecteu els números i obtindrem:

# 2pi * (8 ^ 2 + 8 * 4) = 196pi

Això és aproximadament #615.8# # cm ^ 2 #.

Podríeu pensar en aquesta fórmula mitjançant l’imatge dels productes d’una va esclatar cilindre (o desenrotllat).

El cilindre inclouria tres superfícies: un parell de cercles de radis idèntics # r # que actuen com a taps i una paret rectangular d'altura # h # i longitud # 2pi * r #. (Per què? Des que, quan formem el cilindre, el mateix rectangle s'enrotllaria en un tub, coincidint exactament amb la vora exterior dels dos cercles que tenen circumferències # pi * d = 2pi * r #.)

Ara trobem la fórmula d’àrea per a cadascun dels components: #A_ "cercle" = pi * r ^ 2 # per a cadascun dels cercles, i #A_ "rectangle" = h * l = h * (2pi * r) = 2pi * r * h # per al rectangle.

Afegint-los per trobar una expressió de la superfície del cilindre:

# S.A. = 2 * A_ "cercle" + A_ "rectangle" = 2pi * r ^ 2 + 2pi * r * h #

Factor fora # 2pi * r # aconseguir # S.A. = 2pi * r * (r + h) #

Tingueu en compte que, com que cada cilindre té dues tapes, hi ha dues #A_ "cercle" # * a l'expressió de * # S.A.

Referència i atribucions d'imatge:

Niemann, Bonnie i Jen Kershaw. Fundació CK-12 de la "superfície dels cilindres", Fundació CK-12, 8 de setembre del 2016, www.ck12.org/geometry/surface-area-of-cylinders/lesson/Surface-Area-of-Cylinders-MSM7/ ? referrer = concept_details.

Resposta:

#:. color (porpra) (= 491.796cm ^ 2 # fins als tres decimals més propers # cm ^ 2 #

Explicació:

:.Pithagores: # c ^ 2 = 12 ^ 2 + 8 ^ 2 #

#:. c = L = sqrt (12 ^ 2 + 8 ^ 2) #

#:. c = Lcolor (porpra) (= 14,422 cm

#:. 12/8 = tan theta=1.5=56^@18’35.7 "#

:.#color (morat) (S.A. #= pi r L #

:.S.A.# = pi * 8 * 14.422 #

:.S.A.#=362.464#

:.Total S.A.#color (morat) (= 362.464cm ^ 2 #

#:. Cot 56-29@18'35.7 "* 8 = 5.333cm = #radi de la part superior

:.Pithagores: # c ^ 2 = 8 ^ 2 + 5.333 ^ 2 #

#:. c = L = sqrt (8 ^ 2 + 5.333 ^ 2) #

#:. c = Lcolor (porpra) (= 9,615 cm part superior

:.S.A. part superior# = pi * r * L #

S.A. part superior#:. pi * 5.333 * 9.615 #

S.A. part superior#:.=161.091#

S.A. part superior#:. color (porpra) (= 161,091cm ^ 2

:.S.A. Part inferior#color (morat) (= 362.464-161.091 = 201.373cm ^ 2 #

:.S.A. Part inferior# = 201.373 + 89.361 + 201.062 = 491.796 cm ^ 2 #

#:. color (porpra) (= 491.796cm ^ 2 # fins als tres decimals més propers # cm ^ 2 #