Resposta:
# x = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #
Explicació:
Atès que aquest quàrtic no té arrels racionals (i no puc molestar-me amb les fórmules), comencem utilitzant el mètode de Newton per aproximar les arrels:
# x ~~ -0.303 #
# x ~~ -0.618 #
# x ~~ 1.618 #
# x ~~ 3.303 #
D'aquests, ho trobem # x ~~ -0.618 # i # x ~~ 1.618 # destaquen. Reconeixem que són la raó d’or:
# x = (1 + -sqrt5) / 2 #
També podem comprovar que són arrels connectant-les a l’equació, però només podeu prendre la paraula que són arrels.
Això vol dir que el següent és un factor de l’equació:
# (x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) =
# = ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) =
# = (x-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #
# = x ^ 2-x-1 #
Ja ho sabem # x ^ 2-x-1 # és un factor, podem utilitzar la divisió llarga polinòmica per esbrinar la resta i reescriure l’equació de la manera següent:
# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0
Ja hem descobert quan el factor esquerre és igual a zero, de manera que ara mirem la dreta. Podem resoldre el quadràtic utilitzant la fórmula quadràtica per obtenir:
# x = (3 + -sqrt13) / 2 #
