Quin és el límit quan x s'apropa a 0 de (1 + 2x) ^ cscx?

La resposta és # e ^ 2 #.

El raonament no és tan senzill. En primer lloc, heu d’utilitzar el truc: a = e ^ ln (a).

Per tant, # (1 + 2x) ^ (1 / sinx) = e ^ u #, on?

# u = ln ((1 + 2x) ^ (1 / sinx)) = ln (1 + 2x) / sinx #

Per tant, com # e ^ x # és funció contínua, podem moure el límit:

#lim_ (x-> 0) e ^ u = e ^ (lim_ (x-> 0) u) #

Calculem el límit de # u # com x s'apropa a 0. Sense cap teorema, els càlculs serien durs. Per tant, utilitzem el teorema de l'Hospital ja que el límit és de tipus #0/0#.

#lim_ (x-> 0) f (x) / g (x) = lim_ (x-> 0) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Per tant,

#lim_ (x-> 0) ln (1 + 2x) / sinx = 2 / (2x + 1) / cos (x) = 2 / ((2x + 1) cosx) = 2 #

I després, si tornem al límit original # e ^ (lim_ (x-> 0) u) # i inseriu 2, obtenim el resultat de # e ^ 2 #,