Quin és el pendent de la línia tangent de r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) a theta = (pi) / 4?

Resposta:

El pendent és #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Explicació:

Aquí hi ha una referència a tangents amb coordenades polars

A partir de la referència, obtenim la següent equació:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Hem de calcular # (dr) / (d theta) # però si us plau, observeu-ho #r (theta) # es pot simplificar utilitzant la identitat #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (theta) / theta #

# (dr) / (d theta) = (g (theta) / (h (theta)) '= (g' (theta) h (theta) - h '(theta) g (theta)) / (h (theta)) ^ 2 #

#g (theta) = -tan ^ 2 (theta) #

#g '(theta) = -2tan (theta) sec ^ 2 (theta) #

#h (theta) = teta #

#h '(theta) = 1

# (dr) / (d theta) = (-2thetatan (theta) sec ^ 2 (theta) + tan ^ 2 (theta)) / (theta) ^ 2 #

Avaluem l’anterior # pi / 4 #

# sec ^ 2 (pi / 4) = 2

#tan (pi / 4) = 1

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16 - 16pi) / (pi ^ 2) #

Avaluar r at # pi / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Nota: he fet el denominador anterior # pi ^ 2 # de manera que era comú amb el denominador de # r '# i, per tant, cancel·larem quan els posem a la següent equació:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

A # pi / 4 # els sins i els cosinus són iguals, per tant, es cancel·laran.

Estem preparats per escriure una equació per al pendent, m:

#m = (16 - 16pi + -4pi) / (16 - 16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #