Quins són els factors per a y = x ^ 2 - 4x +7?

Resposta:

Es pot tenir en compte amb coeficients complexos:

# x ^ 2-4x + 7 = (x-2-sqrt (3) i) (x-2 + sqrt (3) i) #

Explicació:

Donat:

#y = x ^ 2-4x + 7 #

Tingueu en compte que això està en la forma estàndard:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

amb # a = 1 #, # b = -4 # i # c = 7 #.

Això té discriminació # Delta # donat per la fórmula:

#Delta = b ^ 2-4ac #

#color (blanc) (Delta) = (color (blau) (- 4)) ^ 2-4 (color (blau) (1)) (color (blau) (7)) #

#color (blanc) (Delta) = 16-28 #

#color (blanc) (Delta) = -12 #

Des de #Delta <0 #, aquest quadràtic no té certs reals ni factors lineals amb coeficients reals.

Encara ho podem fer, però necessitem coeficients complexos no reals.

La identitat de la diferència de quadrats es pot escriure:

# A ^ 2-B ^ 2 = (A-B) (A + B) #

Podem completar el quadrat i utilitzar-lo # A = (x + 2) # i # B = sqrt (3) i # (on?) # i # és el unitat imaginària, satisfactòria # i ^ 2 = -1 #) com segueix:

# x ^ 2-4x + 7 = x ^ 2-4x + 4 + 3 #

#color (blanc) (x ^ 2-4x + 7) = (x-2) ^ 2- (sqrt (3) i) ^ 2 #

#color (blanc) (x ^ 2-4x + 7) = ((x-2) -sqrt (3) i) ((x-2) + sqrt (3) i) #

#color (blanc) (x ^ 2-4x + 7) = (x-2-sqrt (3) i) (x-2 + sqrt (3) i) #