Com es resolen 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Com es resolen 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?
Anonim

Resposta:

Podem resoldre aquesta pregunta gràficament.

Explicació:

L’equació donada # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # es pot tornar a escriure com a

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Ara prengui aquestes dues funcions separades

#f (x) = 2e ^ (x) # i #g (x) = 7-2x # i traçar el seu gràfic; seu punt d’intersecció serà el solució a l’equació donada # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

A continuació es mostra: -

Resposta:

Aquesta és més enllà de l'àlgebra de secundària i la millor manera de resoldre'l és demanar-li a Wolfram Alpha qui respon #x aprox.94 #.

Explicació:

Resol

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Les preguntes com aquesta són en general dures i la resposta depèn de si estàs a Àlgebra a l'escola secundària o més endavant en matemàtiques.

Per a l'escola secundària, el millor enfocament és provar alguns números petits i veure si funcionen. (Això funciona per a molts, molts problemes de matemàtiques de secundària, fyi.) En realitat, només hi ha un racional # x # que fà # e ^ x # racional, # x = 0 #, que no és una solució. Així que endevinar no funcionarà aquí.

Si una aproximació és prou bona, la podem representar gràficament # 2e ^ x # i # 7-2x # i veure on es troben.

Sigui quin sigui el seu nivell, quan es troba davant d’un dur com aquest, sol ser una bona idea demanar l’expert disponible, que és Wolfram Alpha.

Veiem que Alpha ens va donar una resposta aproximada, molt a prop d’1, i fins i tot una fórmula que utilitza W (x), que el registre del producte de Lambert, que normalment no forma part de les matemàtiques de l’escola secundària.

No hi ha cap resposta amb funcions i operacions regulars que coneixem a l’Àlgebra de l’escola secundària. Això és generalment cert quan afegim un terme # x # en un exponent a un lloc on # x # apareix com una potència lineal o superior.

Aquest és el final de la resposta per a la majoria d’estudiants. Però podem aprofundir. El registre del producte és una funció interessant.Penseu en l’equació

#k = xe ^ x #

A la part dreta hi ha una funció creixent de # x #, així que es creuarà # k # tard o d'hora. En realitat, el registre no ens porta a cap lloc: #ln k = ln x + x #.

Necessitem alguna cosa com un registre, però no un que sigui el contrari de # e ^ x #. Ha de ser la inversa de # xe ^ x #. Això s’anomena Log del producte o la funció de Lambert W, definida com:

#k = xe ^ x # té una solució real #x = W (k) #.

Restringirem la nostra atenció als reals. És divertit intentar descobrir # W '#s propietats. El fonamental que hem donat és

#W (xe ^ x) = x #

Anem # x = ye ^ y # a continuació, així #W (x) = y #. Ara

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Això és genial. Què hi ha de

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Prendre registres, # W (x) = ln x - ln (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # assumint que es defineixen els registres

Ara que veieu com és treballar amb W, vegeu si podeu utilitzar-lo per resoldre l’equació o per comprovar la solució d’Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #