Un triangle té cantonades a (4, 1), (2, 4) i (0, 2) #. Quins són els punts finals de les bisectrius perpendiculars del triangle?

Resposta:

Els punts finals senzills són els punts mitjans, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# i els més difícils són on les bisectors es troben amb els altres costats, incloent-hi #(8/3,4/3).#

Explicació:

Mitjançant les medias perpendiculars d’un triangle, suposem que suposem la mediatriu perpendicular de cada costat d’un triangle. Hi ha tres bisectors perpendiculars per a cada triangle.

Cada bisectriu perpendicular es defineix per intersecar un costat en el seu punt mig. També es tallarà un dels altres costats. Suposarem que aquests dos complements són els punts finals.

Els punts mitjans són

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Probablement és un bon lloc per aprendre sobre les representacions paramètriques de línies i segments de línia. # t # és un paràmetre que pot variar sobre els reals (per a una línia) o des de #0# a #1# per a un segment de línia.

Etiquetem els punts #A (4,1) #, #B (2,4) # i #C (0,2) #. Els tres costats són:

# AB: (x, i) = (1-t) A + B

#AB: (x, i) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Com # t # passa de zero a un que traçem cada costat.

Anem a treballar. # D # és el punt mitjà de # BC #, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

El vector de direcció de C a B és # B-C = (2,2) #. Per a la perpendicular, invertim els dos coeficients (cap efecte aquí perquè tots dos són.) #2#) i negar-ne un. Així doncs, l’equació paramètrica de la perpendicular

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Línia diferent, paràmetre diferent). Podem veure on es compleixen cadascun dels costats.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # verifica que la bisectriu perpendicular reuneixi BC al seu punt mig.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Restant, # t = 2-3 = - 1 #

Això és fora del rang, de manera que la mediatriu de BC no toca el costat AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u

Restant, # 1 = 3t

# t = 1/3 #

Això dóna l’altre punt final

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Això es fa llarg, així que us deixaré els altres dos punts finals.