Com es troba la derivada de y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

Resposta:

# dy / dx = -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Explicació:

Utilitzeu la regla del producte:

Si # y = f (x) g (x) #, llavors

# dy / dx = f '(x) g (x) + g' (x) f (x) #

Tan, #f (x) = sin ^ 2x #

#g (x) = cos ^ 2x #

Utilitzeu la regla de la cadena per trobar les dues derivades:

Recordeu-ho # d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx #

#f '(x) = 2sinxd / dx (sinx) = 2sinxcosx #

#g '(x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sinxcosx #

Així, # dy / dx = 2sxxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) #

# => - 2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Hi ha la identitat que # 2sinxcosx = sin2x #, però aquesta identitat és més confusa que útil a l'hora de simplificar les respostes.

Resposta:

Hi ha alguna cosa que fa que la resposta sigui molt més senzilla de trobar.

Explicació:

També podeu recordar-ho #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #, per tant, una nova expressió de la funció.

#f (x) = sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) = sin (x) cos (x) sin (x) cos (x) = (sin (2x) / 2) ^ 2 = sin ^ 2 (2x) / 4 # que és molt més fàcil de derivar (1 quadrat en lloc de 2).

La derivada de # u ^ n # és # n * u'u ^ (n-1) # i la derivada de #sin (2x) # és # 2cos (2x) #

Tan #f '(x) = (4cos (2x) sin (2x)) / 4 = sin (4x) / 2 #.

L’avantatge d’aquestes identitats trigonomètriques és per als físics, poden trobar cada peça d’informació en l’ona que representa aquesta funció. També són molt útils quan heu de trobar primitives de funcions trigonomètriques.