Trobeu l’equació del cercle amb A (2, -3) i B (-3,5) com a punts finals d'un diàmetre?

Per trobar l'equació d'un cercle, hem de trobar el radi i el centre.

Com que tenim els punts finals del diàmetre, podem utilitzar la fórmula del punt mitjà per obtenir el punt mig, que també passa a ser el centre del cercle.

Trobar el punt mig:

#M = ((2 + (- 3)) / 2, (- 3 + 5) / 2) = (- 1 / 2,1) #

Així, el centre del cercle és #(-1/2,1)#

Trobar el radi:

Com que tenim els punts finals del diàmetre, podem aplicar la fórmula de distància per trobar la longitud del diàmetre. A continuació, dividim la longitud del diàmetre per 2 per obtenir el radi. Alternativament, podem utilitzar les coordenades del centre i un dels extrems per trobar la longitud del radi (us deixaré això, les respostes seran iguals).

#AB = sqrt ((2 - (- 3)) ^ 2 + (-3-5) ^ 2) #

#:. AB = sqrt (89) #

# radius = sqrt (89) / 2 #

L’equació general d’un cercle es dóna per:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Així que tenim, # (x - (- 1/2)) ^ 2+ (y-1) ^ 2 = (sqrt (89) / 2) #

Per tant, l’equació del cercle és # (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Resposta:

# x ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Explicació:

L’equació del cercle amb #A (x_1, y_1) i B (x_2, y_2) # com

Els punts finals de diàmetre són

#color (vermell) ((x-x_1) (x-x_2) + (i-y_1) (y-y_2) = 0).

Tenim, #A (2, -3) i B (-3,5). #

#:.# L’equn.of requerit del cercle és, # (x-2) (x + 3) + (i + 3) (y-5) = 0.

# => x ^ 2 + 3x-2x-6 + y ^ 2-5y + 3y-15 = 0

# => x ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Resposta:

# (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Es dóna una explicació molt completa

Explicació:

Hi ha dues coses per resoldre.

1: quin és el radi (ho necessitarem)

2: on és el centre del cercle.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (blau) ("Determineu el punt central") #

Seran els valors mitjans de x's i la mitjana dels y's

Valor mig de # x #: anem de -3 a 2, que és una distància de 5. La meitat d'aquesta distància és #5/2# així que tenim:

#x _ ("mitjana") = -3 + 5/2 = -1 / 2

Valor mig de # y #: passem de -3 a 5, que és de 8. La meitat de 8 és de 4, així que tenim: #-3+4=+1#

#color (vermell) ("Punt central" -> (x, y) = (-1 / 2, + 1)) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (blau) ("Determineu el radi") #

Utilitzem Pitàgores per determinar la distància entre els punts

# D = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) #

# D = sqrt (2 - (- 3) ^ 2 + - 3-5 ^ 2) #

# D = sqrt (25 + 64) = sqrt (89) # Tingueu en compte que 89 és un nombre primer

#color (vermell) ("So radio" -> r = D / 2 = sqrt (89) /2~~4.7169905 … "aproximadament) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (blau) ("Determineu l'equació del cercle") #

Això no és el que realment succeeix, però el que segueix us ajudarà a recordar l’equació.

Si el centre està a # (x, y) = (- 1 / 2,1) # llavors si movem aquest punt de tornada a l’origen (encreuament de l’eix) tenim:

# (x + 1/2) i (y-1) #

Per fer-ho en l’equació d’un cercle fem servir Pitàgores (de nou) donant:

# r ^ 2 = (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Però ho sabem # r = sqrt (89) / 2 "so" r ^ 2 = 89/4 # donar:

# (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #