Quines són les asíntotes de y = 4 / (x-1) i com es fa la gràfica de la funció?

Resposta:

Asimptota horitzontal: # y = 0 #

Asymptote vertical: # x = 1 #

Consulteu el gràfic de # y = 1 / x # quan dibuixa # y = 4 / (x-1) # us pot ajudar a tenir una idea de la forma d’aquesta funció.

gràfic {4 / (x-1) -10, 10, -5, 5}

Explicació:

Asimptotes

Troba el asíntota vertical d’aquesta funció racional establint el seu denominador #0# i la solució per a # x #.

Deixar # x-1 = 0 #

# x = 1 #

Això vol dir que hi ha una asíntota vertical que passa pel punt #(1,0)#.

* FYI pot assegurar-se que # x = 1 # dóna una asíntota vertical en lloc d’un punt de discontinuïtat extraïble mitjançant l’avaluació de l’expressió del numerador a # x = 1 #. Podeu confirmar l’asimptota vertical si el resultat és un valor diferent de zero. Tanmateix, si acabes amb un zero, hauràs de simplificar l’expressió de la funció, per exemple, eliminar el factor en qüestió # (x-1) #i repetiu aquests passos. *

Podeu trobar el document asíntota horitzontal (a.k.a "comportament final") mitjançant l’avaluació #lim_ {x to infty} 4 / (x-1) # i #lim_ {x to -infty} 4 / (x-1) #.

Si encara no heu après els límits, encara podreu trobar l’asimptota si connecteu grans valors de # x # (p. ex., avaluant la funció a # x = 11 #, # x = 101 #, i # x = 1001 #.) Probablement trobareu el valor de # x # augmentar cap a l'infinit positiu, el valor de # y # cada vegada més a prop, però mai arriba #0#. Així és el cas # x # s'apropa a l'infinit negatiu.

Per definició, veiem que la funció té una asíntota horitzontal a # y = 0 #

Gràfic

Potser heu trobat l’expressió de # y = 1 / x #, el # x #-funció recíproca similar a la de # y = 4 / (x-1) #. Es pot representar gràficament d’aquest últim en funció del coneixement de la forma del primer.

Penseu en quina combinació de transformacions (com estirar i canviar) convertirà la primera funció que probablement estigui familiaritzat amb la funció en qüestió.

Comencem per la conversió

# y = 1 / x # a # y = 1 / (x-1) #

canviant el gràfic de la primera funció a la dret per #1# unitat. Algebraicament, aquesta transformació s'assembla a la substitució # x # en la funció original amb l’expressió # x-1 #.

Finalment estirarem verticalment la funció # y = 1 / (x-1) # per un factor de #4# per obtenir la funció que busquem, # y = 4 / (x-1) #. (Per a funcions racionals amb asíntotes horitzontals, l'estirament canviaria efectivament la funció cap a fora).