Quina és la derivada de y = sec ^ 2 (x) + tan ^ 2 (x)?

La derivada de # y = sec ^ 2x + tan ^ 2x # és:

# 4sec ^ 2xtanx #

Procés:

Atès que la derivada d'una suma és igual a la suma de les derivades, només podem derivar # sec ^ 2x # i # tan ^ 2x # per separat i afegir-los junts.

Per a la derivada de # sec ^ 2x #, hem d’aplicar la regla de cadena:

#F (x) = f (g (x)) #

#F '(x) = f' (g (x)) g '(x) #,

amb la funció exterior sent # x ^ 2 #, i la funció interna és # secx #. Ara trobem la derivada de la funció externa tot mantenint la funció interior igual, després la multipliquem per la derivada de la funció interna. Això ens dóna:

#f (x) = x ^ 2 #

#f '(x) = 2x #

#g (x) = secx #

#g '(x) = secxtanx #

Enganxar-los a la nostra fórmula de regla de cadena, tenim:

#F '(x) = f' (g (x)) g '(x) #,

#F '(x) = 2 (secx) secxtanx = 2sec ^ 2xtanx #

Ara seguim el mateix procés per al # tan ^ 2x # terme, que substitueix # secx # amb # tanx #, acabant amb:

#f (x) = x ^ 2 #

#f '(x) = 2x #

#g (x) = tanx #

#g '(x) = sec ^ 2x #

#F '(x) = f' (g (x)) g '(x) #,

#F '(x) = 2 (tanx) sec ^ 2x = 2sec ^ 2xtanx #

Si afegiu aquests termes junts, tenim la nostra resposta final:

# 2sec ^ 2xtanx + 2sec ^ 2xtanx #

= # 4sec ^ 2xtanx #