La suma del quadrat de tres enters és 324. Com trobeu els enters?

Resposta:

L’única solució amb nombres enters positius diferents és #(2, 8, 16)#

El conjunt complet de solucions és:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Explicació:

Podem salvar-nos d’un esforç considerant quina forma prenen les places

Si # n # és un enter senar aleshores #n = 2k + 1 # per a alguns sencers # k # i:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Tingueu en compte que es tracta d’un enter senar del formulari # 4p + 1 #.

Així, si afegiu els quadrats de dos nombres enters imparells, obtindreu sempre un enter del formulari # 4k + 2 # per a alguns sencers # k #.

Tingues en compte que #324 = 4*81# és de la forma # 4k #, no # 4k + 2 #.

Per tant, podem deduir que els tres enters han de ser tots iguals.

Hi ha un nombre finit de solucions en sencers des de # n ^ 2> = 0 # per a qualsevol enter # n #.

Penseu en les solucions en nombres enters no negatius. Podem afegir variants que incloguin enters negatius al final.

Suposem que s’és el enter enter més gran # n #, llavors:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Tan:

# 12 <= n <= 18 #

Això resulta en possibles sumes de quadrats dels altres dos enters:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Per a cadascun d’aquests valors # k #, suposo que s’és el enter sencer més gran # m. Llavors:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

i necessitem # k-m ^ 2 # ser un quadrat perfecte.

Per tant, trobem solucions:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Així, l’única solució amb nombres enters positius diferents és #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

És fàcil demostrar-ho # x, y # i # z # ha d’ésser igual perquè fer # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # i # z = 2 m_z # tenim

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # o bé

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # això és absurd.

Així doncs, considerarem a partir d’ara endavant

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Ara considerant la identitat

# ((l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

amb # l, m, n # enters arbitrals positius i elaboració

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} ------ 1

tenim

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # o la solució per a # n #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

per la qual cosa necessitem la viabilitat

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 o bé

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

així per # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # tindrem

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # així que és factible # q # són

#q_f = {80,72,56,32} # perquè #q equiv 0 mod 4 #

així que hem de trobar

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # o bé

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Aquí, com es pot verificar fàcilment, l’única solució és

# l_1 = 2, m_1 = 4 # perquè

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

i en conseqüència # n_1 = {4,5} #

i substituint a 1 ho aconseguim

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):}

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):}

donar la solució

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):}