Resposta:
Comproveu a continuació per obtenir resposta
Explicació:
Per # x = 0 # tenim
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Considerem una nova funció #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, # x ## in ## RR #
#g (0) = 0 #, #g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, # x ## in ## RR #
Com a resultat # g # està augmentant # RR #. Així, perquè és estrictament creixent # g # és "#1-1#"(d'un a un)
Tan, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 #<=># #g (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Hem de demostrar-ho # x / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # f # és continu a # 0, x #
- # f # és diferenciable a # (0, x) #
Segons el teorema del valor mitjà, hi ha # x_0 ## in ## (0, x) #
per quin #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, # x ## in ## RR # tan
mitjançant la diferenciació de les dues parts
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 #<=># #f '(x) + f' (x) i ^ (- f (x)) = 1 #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x)) #
La funció # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # és diferenciable. Com a resultat # f '# és diferenciable i # f # és 2 vegades diferenciable amb
#f '' (x) = - ((1 + i ^ (- f (x)))) ((1 + i ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (f '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, # x ## in ## RR #
-> # f '# és estrictament creixent a # RR # que significa
# x_0 ## in ## (0, x) # #<=># #0<## x_0 <## x # #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0)) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
# x / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
