Quin és el significat del límit d'una funció?

Resposta:

La declaració #lim_ (x a) f (x) = L # significa: com # x # s'apropa # a #, #f (x) # s'apropa # L #.

Explicació:

La definició precisa és:

Per a qualsevol nombre real #ε>0#, hi ha un altre nombre real #δ>0# tal que si # 0 <| x-a |<>, llavors # | f (x) -L |<>.

Penseu en la funció #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Si representem el gràfic, sembla així:

No podem dir quin és el valor # x = 1 #, però sembla com si #f (x) # enfocaments #2# com # x # enfocaments #1#.

Intentem demostrar-ho #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2.

La pregunta és, de quina manera aconseguim # 0 <| x-1 |<> a # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Hem de començar amb un cert valor de #ε# i llavors cerqueu un valor corresponent per a #δ#.

Comencem per

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = ((x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

L’altra condició és

# | x-1 | <δ #

La definició s’adapta exactament a si #δ = ε#.

Acabem de mostrar això per a qualsevol #ε#, hi ha un #δ# i que # | f (x) 2 |<> Quan # 0 <| x 1 |<>.

Així ho hem demostrat

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2