Per f (x) = xsin ^ 3 (x / 3), quina és l’equació de la línia tangent a x = pi?

Resposta:

# y = 1.8276x-3.7 #

Explicació:

Heu de trobar la derivada:

#f '(x) = (x)' sin ^ 3 (x / 3) + x * (sin ^ 3 (x / 3)) '#

En aquest cas, la derivada de la funció trigonomètrica és en realitat una combinació de 3 funcions elementals. Aquests són:

# sinx #

# x ^ n #

# c * x #

La manera com es solucionarà és la següent:

# (sin ^ 3 (x / 3)) = 3sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3)) '= #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) (x / 3) '= #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) * 1/3 = #

# = sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

Per tant:

#f '(x) = 1 * sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3) + xcos (x / 3)) #

La derivació de l’equació tangent:

#f '(x_0) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

#f '(x_0) * (x-x_0) = y-f (x_0) #

# y = f '(x_0) * x-f' (x_0) * x_0 + f (x_0) #

Substituint els valors següents:

# x_0 = π #

#f (x_0) = f (π) = π * sin ^ 3 (π / 3) = 2.0405 #

#f '(x_0) = f' (π) = sin ^ 2 (π / 3) * (sin (π / 3) + πcos (π / 3)) = 1.8276 #

Per tant, l’equació es converteix en:

# y = 1.8276x-1.8276 * π + 2.0405 #

# y = 1.8276x-3.7 #

Al gràfic següent es pot veure a # x = π = 3,14 # la tangent és realment creixent i es creua l’eix y'y a #y <0 #

gràfic {x (sin (x / 3)) ^ 3 -1,53, 9,57, -0,373, 5.176}