Quina és la forma estàndard de l'equació de la paràbola amb una directriu a x = 103 i un focus a (108,41)?

Resposta:

# x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

Explicació:

Una paràbola és el lloc d’un punt, que es mou de manera que la seva distància des d’una línia donada denominada directriu i un punt donat anomenat enfocament, sigui sempre igual.

Ara, la distància entre dues pintes # (x_1, y_1) # i # (x_2, y_2) # es dóna per #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) i distància d’un punt # (x_1, y_1) # d'una línia # ax + per + c = 0 # és # | (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) | #

Venint a paràbola amb directrix # x = 103 # o bé # x-103 = 0 # i enfocament #(108,41)#, que sigui el punt equidistant de tots dos # (x, y) #. La distància de # (x, y) # de # x-103 = 0 # és

# | (x-103) / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) | = | (x-103) / 1 | = | x-103 | #

i la seva distància de #(108,41)# és

#sqrt ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2) #

i com els dos són iguals, seria l'equació de paràbola

# (108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2 = (x-103) ^ 2 #

o bé # 108 ^ 2 + x ^ 2-216x + 41 ^ 2 + i ^ 2-82y = x ^ 2 + 103 ^ 2-206x #

o bé # 11664 + x ^ 2-216x + 1681 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 10609-206x #

o bé # y ^ 2-82y-10x + 2736 = 0 #

o bé # 10x = y ^ 2-82y + 2736 #

o bé # 10x = (y-41) ^ 2 + 1055 #

o en forma de vèrtex # x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

i el vèrtex és #(105 1/2,41)#

El seu gràfic apareix com es mostra a continuació, juntament amb el focus i la directriu.

gràfic {(y ^ 2-82y-10x + 2736) ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2-0,6) (x-103) = 0 51,6, 210,4, -3,3, 66,1}