Com es troba la derivada de y = Arcsin ((3x) / 4)?

Resposta:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Explicació:

Haureu d’utilitzar la regla de la cadena. Recordem que la fórmula per a això és:

#f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) #

La idea és que primer prengueu la derivada de la funció més externa i, a continuació, feu el camí dins.

Abans de començar, identificarem totes les nostres funcions en aquesta expressió. Tenim:

• #arcsin (x) #

• # (3x) / 4 #

#arcsin (x) # és la funció més externa, així que començarem prenent la derivada d’aquest. Tan:

# dy / dx = color (blau) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) #

Observeu com encara ho estem preservant # ((3x) / 4) # allà. Recordeu que quan feu servir la regla de la cadena es diferencien de fora, però encara ho és mantenir les funcions internes en diferenciar les exteriors.

# (3x) / 4 # és la nostra pròxima funció més externa, així que també haurem d’etiquetar la derivada d’aquest. Tan:

#color (gris) (dy / dx = d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) * color (blau) (d / dx ((3x) / 4)) #

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

I aquest és el final de la part de càlcul d'aquest problema! Tot el que queda és fer una mica de simplificació per ordenar aquesta expressió i acabem amb:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Si voleu ajuda addicional sobre la regla de la cadena, us animaria a fer una ullada a alguns dels meus vídeos sobre el tema:

Espero que t'hagi ajudat:)

Resposta:

Donat: #color (blau) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

#color (verd) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #

Explicació:

Donat:

#color (blau) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Composició de la funció està aplicant una funció als resultats d’una altra:

Observeu que argument de la funció trigonomètrica #sin ^ (- 1) ("") # és també una funció.

El Regla de cadena és una regla per diferenciar composicions de funcions com el que tenim.

Regla de cadena:

#color (vermell) (dy / (dx) = (dy / (du)) * ((du) / (dx)) "" # (o)

#color (blau) (d / (dx) f {g (x)} = f 'g (x) * g' x #

Ens donen

#color (blau) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Deixar, #f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" i "" u = (3x) / 4 #

#color (verd) (Pas 1 #

Ens diferenciarem

#f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" # Funció.1

utilitzant el resultat derivat comú:

#color (marró) (d / (dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt (1-x ^ 2 #

Utilitzant el resultat anterior es pot diferenciar Funció.1 per sobre com

# d / (du) sin ^ (- 1) (u) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) "" # Resultat.1

#color (verd) (Pas 2 #

En aquest pas, diferenciarem el funció interior # (3x) / 4 #

# d / (dx) ((3x) / 4) #

Traieu la constant

#rArr 3/4 * d / (dx) (x) #

#rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3x) / 4) = 3/4 "" #Resultat.2

#color (verd) (Pas3.3 #

Usarem els dos resultats intermedis, Resultat.1 i Resultat.2 procedir.

Començarem amb, #color (verd) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) * (3/4) #

Substituïu de nou #color (marró) (u = ((3x) / 4) #

Llavors, #color (verd) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2) / 16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2))

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2))) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * 4 #

#rArr (3 / cancel·lar 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * cancel·lar 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) #

Per tant, es pot escriure la nostra resposta final

#color (verd) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #