Com es troba int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx utilitzant fraccions parcials?

$Com es troba int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx utilitzant fraccions parcials?$

Resposta:

Intenteu dividir la funció racional en una suma que serà realment fàcil d’integrar.

Explicació:

Primer de tot: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

La descomposició de la fracció parcial us permet fer això:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # amb # a, b a RR # que heu de trobar.

Per trobar-los, heu de multiplicar els dos costats per un dels polinomis de l'esquerra de la igualtat. Us mostraré un exemple, l’altre coeficient s’ha de trobar de la mateixa manera.

Ho trobarem # a #: hem de multiplicar tot # x # per tal que l’altre coeficient desaparegui.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = a #

Feu el mateix per trobar # b # (es multiplica tot # (x-1) # llavors trieu #x = 1 #), i ho sabeu #b = 1 #.

Tan # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, el que implica això #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #

Com s'integren int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) utilitzant fraccions parcials?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Necessitem trobar A, B, C tal que 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) per a tots els x. Multiplica els dos costats per x ^ 2 (2x-1) per obtenir 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Els coeficients d'equivalència ens donen {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} I per tant tenim A = -2, B = -1, C = 4. Substituint-ho en l’equació inicial, obtenim 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Ara, integrem-lo com a terme int (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx per obtenir 2ln | 2x-1 | -2ln | x |

Com es troba int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx utilitzant fraccions parcials?

Ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C Deixeu que 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) sigui = (A / (1 + x) + B / (1 - 2x) ) Ampliant el costat dret, obtenim (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) Igualant, tenim (A * (1 - 2x) ) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) = 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) és a dir A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 o A - 2Ax + B + Bx = 3 o (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 igualant el coeficient de x a 0 i les constants d’equivalència, obtenim A + B = 3 i -2A + B = 0 Resolució per A & B, obtenim A = 1 i B = 2 Substituint en la integració, obtenim int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx = int (1 / (1 + x) +

Com s'integren int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) utilitzant fraccions parcials?

Cal descompondre (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) com a fracció parcial. Busqueu a, b, c en RR de tal manera que (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Us mostraré com trobar un únic, ja que b i c es troben de la mateixa manera. Es multipliquen els dos costats per x + 3, això farà que desaparegui del denominador del costat esquerre i faci que aparegui al costat de b i c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) si i / o (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Valoreu això a x-3 per tal de fer q