Un triangle té les cantonades A, B i C situades a (3, 5), (2, 9) i (4, 8), respectivament. Quins són els extrems i la longitud de l’altitud que passa per la cantonada C?

Resposta:

Punts finals #(4,8)# i #(40/17, 129/17) # i longitud # 7 / sqrt {17} #.

Explicació:

Aparentment sóc un expert en respondre preguntes de dos anys. Continuem.

L’altitud a través de C és la perpendicular a AB a través de C.

Hi ha algunes maneres de fer-ho. Es pot calcular el pendent d’AB com #-4,# llavors el pendent de la perpendicular és #1/4# i podem trobar la coincidència de la perpendicular a través de C i la línia que passa per A i B. Provem una altra manera.

Anomenem el peu de la perpendicular #F (x, y) #. Sabem que el producte de punts de la direcció vectorial CF amb la direcció vectorial AB és zero si són perpendiculars:

# (B-A) cdot (F - C) = 0

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0

# x - 4 - 4y + 32 = 0

# x - 4y = -28 #

Aquesta és una equació. L’altra equació diu #F (x, y) # està a la línia que passa per A i B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Es reuneixen quan

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

La longitud CF de l’altitud és

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Comproveu-ho mitjançant el càlcul de l’àrea fent servir la fórmula del cordell de llisa i després la resolució de l’altitud. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quadric quad sqrt #