Un triangle isòsceles té els costats A, B i C amb els costats B i C iguals en longitud. Si el costat A passa de (1, 4) a (5, 1) i l'àrea del triangle és 15, quines són les coordenades possibles de la tercera cantonada del triangle?

Resposta:

Els dos vèrtexs formen una base de longitud 5, de manera que l'altura ha de ser de 6 per obtenir l'àrea 15. El peu és el punt mitjà dels punts i sis unitats en qualsevol direcció perpendicular. # (33/5, 73/10)# o bé #(- 3/5, - 23/10) #.

Explicació:

Consell de pro: intenteu adherir-vos a la convenció de lletres petites per als costats del triangle i les majúscules dels vèrtexs del triangle.

Tenim dos punts i una àrea d’un triangle isòsceles. Els dos punts fan la base, # b = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5.

El peu # F # de l’altitud és el punt mig dels dos punts, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

El vector de direcció entre els punts és #(1-5, 4-1)=(-4,3)# amb magnitud 5 tal com es calcula. Obtenim el vector de direcció de la perpendicular intercanviant els punts i negant-ne un: #(3,4)# que també ha de tenir una magnitud de cinc.

Des de la zona # A = frac 1 2 b h = 15 # obtenim # h = (2 * 15) /b=6.#

Per tant, hem de moure'ns #6# unitats de # F # en qualsevol direcció perpendicular per obtenir el tercer vèrtex que he trucat # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) o C = (- 3/5, - 23/10) #

Comproveu: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

L'àrea signada és llavors la meitat del producte creuat

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) -15 (quad)

Aquest és el final, però generalitzem la resposta una mica. Anem a oblidar que és isòsceles. Si tenim C (x, y), la zona és donada per la fórmula del cordó:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-i | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

La zona és #15#:

# 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # o bé # -11 = 3x + 4y #

Així, si el vèrtex C es troba en qualsevol d’aquestes dues línies paral·leles, tindrem un triangle d’àrea 15.

Deixar # PR = A # siga el costat del triangle isòsceles amb coordenades dels seus punts finals de la següent manera

#Pto (1,4) # i #Rto (5,1) #

Siguin les coordenades del tercer punt del triangle # (x, y) #.

Com # (x, y) # és equidistant de P i R que podem escriure

# (x-1) ^ 2 + (i-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => x = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

De nou # (x, y) # sent equidistant de P i R, la perpendicular ha caigut de # (x, y) # a # PR # ha de dividir-la, deixar aquest peu del punt perpendicular o mig de # PR # ser # T #

Així que les coordenades de #Tto (3,2,5) #

Ara l’altura del triangle isòsceles

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

I la base del triangle isòsceles

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5

Així, pel problema de la seva zona

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6

# => (x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Per 2 i 1 ho aconseguim

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => y ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (y-2.5) ^ 2 = 4.8 ^ 2 #

# => y = 2.5pm4.8 #

Tan # y = 7,3 i y = -2,3 #

Quan # y = 7,3 #

# x = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

Quan # y = -2,3 #

# x = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6 #

Així, les coordenades del tercer punt seran

# (6.6,7.3) a "Q de la figura" #

# (- 0.6, -2.3) a "S a la figura" #

El perímetre d'un triangle és de 29 mm. La longitud del primer costat és el doble de la longitud del segon costat. La longitud del tercer costat és de 5 més que la longitud del segon costat. Com trobeu les longituds laterals del triangle?

S_1 = 12 s_2 = 6 s_3 = 11 El perímetre d'un triangle és la suma de les longituds de tots els seus costats. En aquest cas, es dóna que el perímetre és de 29 mm. Per tant, per a aquest cas: s_1 + s_2 + s_3 = 29 Així, resolent la longitud dels costats, traduïm les declaracions en forma d’equació. "La longitud de la 1a cara és el doble de la longitud del segon costat" Per resoldre-ho, assignem una variable aleatòria a s_1 o s_2. Per a aquest exemple, deixaria x la longitud del segon costat per evitar tenir fraccions a la meva equació. Així que sabem que:

El triangle A té un àrea de 15 i dos costats de longituds 8 i 7. El triangle B és similar al triangle A i té un costat amb una longitud de 16. Quines són les àrees màximes i mínimes possibles del triangle B?

Àrea màxima de Delta B = 78,3673 L'àrea mínima de Delta B = 48 Delta s A i B són similars. Per obtenir l’àrea màxima de Delta B, el costat 16 de Delta B ha de correspondre al costat 7 de Delta A. Els costats estan en la proporció 16: 7. Per tant, les àrees estaran en la proporció de 16 ^ 2: 7 ^ 2 = 256: 49 Àrea màxima del triangle B = (15 * 256) / 49 = 78.3673 Igual que per obtenir la zona mínima, el costat 8 del Delta A correspondrà al costat 16 de Delta B. Els costats es troben en la proporció 16: 8 i les àrees 256: 64 Àrea míni

Un triangle isòsceles té els costats A, B i C amb els costats B i C iguals en longitud. Si el costat A passa de (7, 1) a (2, 9) i l'àrea del triangle és de 32, quines són les coordenades possibles de la tercera cantonada del triangle?

(1825/178, 765/89) o (-223/178, 125/89) Ens marquem a la notació estàndard: b = c, A (x, y), B (7,1), C (2,9) . Tenim text {àrea} = 32. La base del nostre triangle isòsceles és BC. Tenim a = | BC | = sqrt {5 ^ 2 + 8 ^ 2} = sqrt {89} El punt mig de BC és D = ((7 + 2) / 2, (1 + 9) / 2) = (9/2, 5). La mediatriu de BC passa per D i el vèrtex A. h = AD és una altitud que obtenim de la zona: 32 = frac 2 2 = 1/2 sqrt {89} h = 64 / sqrt {89} el vector de direcció de B a C és CB = (2-7,9-1) = (- 5,8). El vector de direcció de les seves perpendiculars és P = (8,5), canviant