Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Si un costat del triangle té una longitud de 4, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

Resposta:

# P_max = 28,31 # unitats

Explicació:

El problema us dóna dos dels tres angles en un triangle arbitrari. Atès que la suma dels angles en un triangle ha d’afegir fins a 180 graus, o #Pi# radians, podem trobar el tercer angle:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

Dibuixem el triangle:

El problema indica que un dels costats del triangle té una longitud de 4, però no especifica quin costat. No obstant això, en qualsevol triangle donat, és cert que el el més petit el costat serà oposat des del més petit angle.

Si volem maximitzar el perímetre, hauríem de fer que el costat amb la longitud 4 sigui el costat oposat des de l'angle més petit. Atès que els altres dos costats seran més grans que 4, garanteix que maximitzarem el perímetre. Per tant, el triangle de sortida es converteix en:

Finalment, podem utilitzar el llei dels sins per trobar les longituds dels altres dos costats:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Connexió, obtenim:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / i #

Resolució de x i y obtenim:

# x = 10,93 # i # y = 13,38 #

Per tant, el perímetre màxim és:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28,31 #

Nota: Atès que el problema no especifica les unitats de longitud al triangle, només cal que utilitzeu "unitats".