Quins són els errors comuns que els estudiants fan amb el·lipses de forma estàndard?

El formulari estàndard per a una el·lipse (tal com l’ensenyo) sembla: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (i-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1.

(h, k) és el centre.

la distància "a" = fins a quin punt es desplaça el centre per trobar els punts finals horitzontals.

la distància "b" = fins a on es desplaça el centre cap amunt / avall per trobar els punts finals verticals.

Crec que sovint els estudiants creuen això equivocadament # a ^ 2 # és quina distància es pot allunyar del centre per localitzar els punts finals. De vegades, seria una distància molt gran per viatjar.

A més, crec que de vegades els estudiants es mouen equivocadament cap amunt / avall en lloc de dreta / esquerra quan apliquen aquestes fórmules als seus problemes.

Heus aquí un exemple per parlar:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1

El centre és (1, -4). Heu de moure cap a la dreta i a l’esquerra "a" = 2 unitats per obtenir els punts finals horitzontals a (3, -4) i (-1, -4). (veure imatge)

Heu de moure cap amunt i cap avall "b" = 3 unitats per obtenir els punts finals verticals a (1, -1) i (1, -7). (veure imatge)

Des d’un <b, l’eix principal estarà en la direcció vertical.

Si a> b, l’eix principal anirà en direcció horitzontal!

Si necessiteu obtenir informació addicional sobre ellipses, feu una altra pregunta.

(Confusió sobre si # a # i # b # representen els ràdios principals / menors, o el # x #- & # y #-radius)

Recordem que el formulari estàndard per a una el·lipse centrat en l’origen és

# x ^ 2 / (a ^ 2) + i ^ 2 / b ^ 2 = 1

Però, però, alguns tindran problemes amb la fórmula esmentada anteriorment. Algunes escoles pensen en això # a # sempre hauria de ser més gran que # b # i, per tant, representen la longitud del radi principal (fins i tot si el radi major es troba en la direcció vertical, permetent així # y ^ 2 / a ^ 2 # en aquest cas), mentre que altres sostenen que sempre hauria de representar el # x #-radius (fins i tot si el # x #-radius és el radi menor).

El mateix passa amb # b #, encara que al revés. (és a dir, alguns ho creuen # b # sempre hauria de ser el radi menor, i altres creuen que sempre hauria de ser el radi # y #-radius).

Assegureu-vos de saber quin mètode prefereix el vostre instructor (o el programa que utilitzeu). Si no existeix una preferència forta, només cal que decideixis per tu mateix, però sigueu coherent amb la vostra decisió. Canviar d'idea a mig camí de la tasca farà que les coses no siguin clares i canviarà la vostra ment a mig camí d'un solitari problema només conduirà a errors.

(Confusió radi / eix)

La majoria dels errors de les el·lipses semblen resultar d'aquesta confusió quant a quin radi és major i quin és menor. Es poden produir altres possibles errors si es confon el radi major amb l'eix principal (o el radi menor amb l'eix menor). L'eix major (o menor) és igual al doble del radi major (o menor), ja que és essencialment el diàmetre major (o menor). Depenent del pas en què es produeixi aquesta confusió, això pot provocar errors greus a l'escala de l'el·lipse.

(Confusió al radi / radi al quadrat)

Un error similar es produeix quan els estudiants obliden que els denominadors (# a ^ 2, b ^ 2 #) són els quadrats dels radis, i no els propis radis. No és estrany veure un estudiant amb un problema com # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # dibuixa una el·lipse amb # x #-radi 9 i # y #-radius 4. A més, això pot ocórrer conjuntament amb l’error anterior (confonent el radi pel diàmetre), donant lloc a resultats com un estudiant amb l’equació anterior dibuixant una el·lipse amb un diàmetre major 9 (i, per tant, un radi major), en comptes del diàmetre principal correcte 6 (i el radi principal 3).

(Confusió d’hipèrbola i el·lipse) AVÍS: la resposta és bastant llarga

Un altre error relativament comú es produeix si un recorda malament la fórmula de l’el·lipse. Específicament, el més comú d'aquests errors sembla ocórrer quan es confon la fórmula de les el·lipses amb la de les hipèrboles (que, recordem, és # x ^ 2 / a ^ 2 -i ^ 2 / b ^ 2 = 1 o bé # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # per a aquells centrats en l’origen, de nou subjectes a les convencions d’etiquetatge d’eixos esmentades anteriorment). Per això, ajuda a recordar la definició d’el·lipses i hiperboles com a seccions còniques.

Concretament, recordeu que una el·lipse és el lloc dels punts relacionats amb dos focus # f_1 i f_2 # situat al llarg de l’eix principal de tal manera que, per a un punt arbitrari # p # al lloc, la distància de # p # a # f_1 # (etiquetat # d_1 #) a més de la distància de # p # a # f_2 # (etiquetat # d_2 #) és igual al doble del radi principal (és a dir, si # a # és el radi principal, # d_1 + d_2 = 2a #). A més, la distància entre el centre i qualsevol d’aquests focus (de vegades anomenada) separació semifocal o bé excentricitat lineal), suposant # a # és el radi principal, és igual a #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Per contra, una hipèrbola és el lloc de punts relacionats amb dos focus de tal manera que, per a un punt # p # sobre el lloc, el valor absolut del diferència entre la distància del punt al primer focus i la distància del punt al segon focus és igual al doble del radi principal (és a dir, amb # a # radi major, # | d_1 - d_2 | = 2a #). A més, la distància des del centre de la hipèrbola cap a qualsevol d’aquests focus (de nou, de vegades anomenada excentricitat lineal, i encara assumint # a # major radio) és igual a #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Relatiu a la definició de seccions còniques, la global excentricitat # e # d’una secció determina si és un cercle (si# e = 0 #), el·lipse (# 0 <e <1 #), paràbola (# e = 1 #), o hipèrbola (#e> 1 #). Per a el·lipses i hiperboles, l'excentricitat es pot calcular com la relació de l'excentricitat lineal amb la longitud del radi major; per tant, per a una el·lipse serà #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (i per tant, necessàriament menys d’1), i per a una hipèrbola serà #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (i per tant necessàriament superior a 1).