Quin és el rang d’una funció quadràtica?

Resposta:

L’interval de #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # és:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "si" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "si" a <0):} #

Explicació:

Donada una funció quadràtica:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # # amb #a! = 0 #

Podem completar el quadrat per trobar:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Per a valors reals de # x # el terme quadrat # (x + b / (2a)) ^ 2 # no és negatiu, prenent el seu valor mínim #0# Quan #x = -b / (2a) #.

Llavors:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Si #a> 0 # llavors aquest és el valor mínim possible de #f (x) # i el rang de #f (x) # és # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Si #a <0 # llavors aquest és el valor màxim possible de #f (x) # i el rang de #f (x) # és # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Una altra manera d’observar-ho és deixar que #y = f (x) # i mira si hi ha una solució # x # en termes de # y #.

Donat:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Sostreure # y # de tots dos costats per trobar:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

El discriminant # Delta # d’aquesta equació quadràtica és:

#Delta = b ^ 2-4a (c-i) = (b ^ 2-4ac) + 4ay

Per tenir solucions reals, necessitem #Delta> = 0 # i així:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Afegeix # 4ac-b ^ 2 # a tots dos costats per trobar:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Si #a> 0 # llavors simplement podem dividir els dos costats per # 4a # aconseguir:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Si #a <0 # llavors podem dividir els dos costats per # 4a # i invertir la desigualtat per obtenir:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #