En quines circumstàncies no trivials (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2?

Resposta:

Sota aquesta circumstància # AB = 0 #

Volem trobar quan # (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #.

Comencem ampliant el costat esquerre utilitzant la fórmula quadrada perfecta

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + 2AB + B ^ 2 #

Així que veiem això # (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 # iff # 2AB = 0 #

Mirar abaix.

Si #A, B # són vectors llavors

# (A + B) cdot (A + B) = norma (A) ^ 2 + 2 A cdot norma B + (B) ^ 2 = norma (A) ^ 2 + norma (B) ^ 2 #

llavors necessàriament #A cdot B = 0 rArr Un bot B # tan # A, B # són ortogonals.

Algunes possibilitats …

Donat:

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #

Un parell de possibilitats …

Camp de característica #2#

En un camp de característica #2#, qualsevol múltiple de #2# és #0#

Tan:

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + color (vermell) (cancel·la (color (negre) (2AB)) + B ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #