Què és la projecció de (3i + 2j - 6k) (3i - 4j + 4k)?

Resposta:

La projecció vectorial és #< -69/41,92/41,-92/41 >#, la projecció escalar és # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Explicació:

Donat # veca = (3i + 2j-6k) # i # vecb = (3i-4j + 4k) #, ho podem trobar #proj_ (vecb) veca #, el vector projecció de # veca # a # vecb # utilitzant la següent fórmula:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

És a dir, el producte de punts dels dos vectors dividits per la magnitud de # vecb #, multiplicat per # vecb # dividit per la seva magnitud. La segona quantitat és una quantitat vectorial, ja que dividim un vector per un escalar. Tingueu en compte que dividim # vecb # per la seva magnitud per tal d’obtenir un vector unitari (vector amb magnitud de #1#). Es pot notar que la primera quantitat és escalar, ja que sabem que quan prenem el producte de punts de dos vectors, el resultant és un escalar.

Per tant, el escalar projecció de # a # a # b # és #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, també escrit # | proj_ (vecb) veca | #.

Podem començar prenent el producte de punts dels dos vectors, que es poden escriure com # veca = <3,2, -6> # i # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Llavors podem trobar la magnitud de # vecb # prenent l’arrel quadrada de la suma dels quadrats de cadascun dels components.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

I ara tenim tot el que necessitem per trobar la projecció vectorial de # veca # a # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Podeu distribuir el coeficient a cada component del vector i escriure com:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

La projecció escalar de # veca # a # vecb # és només la primera meitat de la fórmula, on #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Per tant, la projecció escalar és # -23 / sqrt (41) #, que no simplifica més, a més de racionalitzar el denominador si es vol, donant # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Espero que t'ajudi!