Diferenciar i simplificar ajuda?

Resposta:

# x ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Explicació:

Express # x ^ tanx # com a potència d’e:

# x ^ tanx = e ^ l (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = d / dxe ^ (lnxtanx) #

Utilitzant la regla de la cadena, # d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # on # u = lnxtanx # i # d / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

Express # e ^ (lnxtanx) # com a potència de x:

# e ^ (lnxtanx) = e ^ l (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Utilitza la regla del producte, # d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, on? # u = lnx # i # v = tanx #

# = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

La derivada de # tanx # és # sec ^ 2x #

# = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) #

La derivada de # lnx # és # 1 / x #

# = x ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Resposta:

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Explicació:

Utilitzarem la diferenciació logarítmica, és a dir, prendrem el registre natural d’ambdues parts i diferenciarem implícitament w.r.t # x #

Donat: # y = x ^ tan (x) #

Agafeu el registre natural (# ln #) dels dos costats:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Aplicar la regla de potència del registre natural #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Diferenciar implícitament els dos costats de w.r.t # x #

# 1 / y * dy / dx = color (blau) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Vegeu el treball a continuació)

Per diferenciar el RHS, haurem d'utilitzar la regla del producte.

Tenim # d / dx tan (x) * ln (x) #

Deixar #f (x) = tan (x) # i #g (x) = ln (x) #

Així, #f '(x) = sec ^ 2 (x) # i #g '(x) = 1 / x #

Per la regla del producte: # d / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x) #

Substitució:

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Simplificació …

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Tornant al que havíem tingut abans:

# 1 / y * dy / dx = sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Volem aïllar # dy / dx # per tant, multiplicem els dos costats de # y #

#cancelcolor (vermell) y * 1 / cancel·lant * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * color (vermell) i #

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * color (vermell) i #

Volem escriure tot en termes de # x # però tenim això #color (vermell) i # en el camí. Potser ho recordeu #color (vermell) i # ens és donat al principi. #color (vermell) (y = x ^ tan (x)) #

#:. dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #