Quin és l'interval de convergència de sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] n? I quina és la suma en x = 3?
![Quin és l'interval de convergència de sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] n? I quina és la suma en x = 3?](https://img.go-homework.com/calculus/what-is-the-interval-of-convergence-of-sum_n0oolog_2/fracx1x-2n-and-whats-the-sum-in-x3.jpg "Quin és l'interval de convergència de sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] n? I quina és la suma en x = 3?")
] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["és l'interval de convergència per x" "x = 3 no està en l'interval de convergència, de manera que la suma per x = 3 és" oo ". ser una sèrie geomètrica substituint z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "llavors tenim" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "per" | z | <1 "Així l'interval de convergència és" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatiu)" &q
Quin és l’interval de convergència de sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?
X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Podem apreciar aquesta suma_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n és una sèrie geomètrica amb relació r = 1 / (x (1-x)). Ara sabem que les sèries geomètriques convergeixen quan el valor absolut de la relació és menor que 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Així que hem de resoldre aquesta desigualtat: 1 / (x (1-x)) <1 i 1 / (x (1-x))> -1 Comencem per la primera: 1 / (x (1-x)) <1 si 1 / (x (1-x)) - (x (1-x) )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Podem demostrar fàcilment que el numerador sempre és pos
Com es pot determinar la convergència o la divergència de la seqüència an = ln (n ^ 2) / n?
La seqüència converge per trobar si la seqüència a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n convergeix, observem el que a_n és n-> oo. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n usant la regla de l'Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Atès que lim_ (n-> oo) a_n és un valor finit, la seqüència convergeix.