Quin és l’interval de convergència de sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

$Quin és l’interval de convergència de sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?$

Resposta:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Explicació:

Ho podem dir #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) n és una sèrie geomètrica amb relació # r = 1 / (x (1-x)) #.

Ara sabem que les sèries geomètriques convergeixen quan el valor absolut de la relació és menor que 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Per tant, hem de resoldre aquesta desigualtat:

# 1 / (x (1-x)) <1 i 1 / (x (1-x))> -1

Comencem per la primera:

# 1 / (x (1-x)) <1 si 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 si i només

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Podem demostrar fàcilment que el numerador sempre és positiu i el denominador és negatiu en l’interval #x a (-oo, 0) U (1, oo) #.

Aquesta és la solució per a la nostra primera desigualtat.

Vegem el segon:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 si s (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Aquesta desigualtat ha resolt l’interval:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Així, doncs, les nostres sèries convergeixen allà on són iguals a intervals.

Així, el nostre interval de convergència és:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Quin és l'interval de convergència de sum_ {n = 0} ^ {infty} (cos x) ^ n?

Mirar abaix. Utilitzant la identitat polinòmica (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) tenim per abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) llavors, per x ne k pi, k en ZZ tenim sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Quin és l'interval de convergència de sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] n? I quina és la suma en x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["és l'interval de convergència per x" "x = 3 no està en l'interval de convergència, de manera que la suma per x = 3 és" oo ". ser una sèrie geomètrica substituint z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "llavors tenim" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "per" | z | <1 "Així l'interval de convergència és" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatiu)" &q

Com es pot determinar la convergència o la divergència de la seqüència an = ln (n ^ 2) / n?

La seqüència converge per trobar si la seqüència a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n convergeix, observem el que a_n és n-> oo. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n usant la regla de l'Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Atès que lim_ (n-> oo) a_n és un valor finit, la seqüència convergeix.