Quin és l’interval de convergència de sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

Resposta:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Explicació:

Ho podem dir #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) n és una sèrie geomètrica amb relació # r = 1 / (x (1-x)) #.

Ara sabem que les sèries geomètriques convergeixen quan el valor absolut de la relació és menor que 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Per tant, hem de resoldre aquesta desigualtat:

# 1 / (x (1-x)) <1 i 1 / (x (1-x))> -1

Comencem per la primera:

# 1 / (x (1-x)) <1 si 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 si i només

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Podem demostrar fàcilment que el numerador sempre és positiu i el denominador és negatiu en l’interval #x a (-oo, 0) U (1, oo) #.

Aquesta és la solució per a la nostra primera desigualtat.

Vegem el segon:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 si s (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Aquesta desigualtat ha resolt l’interval:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Així, doncs, les nostres sèries convergeixen allà on són iguals a intervals.

Així, el nostre interval de convergència és:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #