Quina és la multiplicitat de l'arrel real d'una equació que creua / toca l'eix X una vegada?

Resposta:

Algunes observacions …

Explicació:

Tingues en compte que #f (x) = x ^ 3 # té les propietats:

• #f (x) # és de grau #3#

• L’únic valor real de # x # per quin #f (x) = 0 # és # x = 0 #

Aquestes dues propietats per si soles no són suficients per determinar que el zero a # x = 0 # és de multiplicitat #3#.

Per exemple, considereu:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Tingues en compte que:

• #g (x) # és de grau #3#

• L’únic valor real de # x # per quin #g (x) = 0 # és # x = 0 #

Però la multiplicitat del zero de #g (x) # a # x = 0 # és #1#.

Algunes coses que podem dir:

• Un polinomi de grau #n> 0 # té exactament # n # complexos (possiblement reals) zeros comptant multiplicitat. Això és conseqüència del teorema fonamental de l’Àlgebra.

• #f (x) = 0 # només quan # x = 0 #, però, és de grau #3#, així ho ha fet #3# zeros comptant multiplicitat.

• Per tant, aquest zero a # x = 0 # ha de ser de multiplicitat #3#.

Per què no és el mateix #g (x) #?

És de grau #3#, així que té tres zeros, però dos d’ells són zeros complexos no reals, nom # + - i #.

Una altra manera de mirar això és observar-ho # x = un # és un zero de #f (x) # si i només si # (x-a) # és un factor.

Trobem:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Això és: # x = 0 # és un zero #3# vegades.