Sense l'ús de la funció de resolució d'una calculadora, com puc resoldre l'equació: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Resposta:

Els zeros són # x = 5 #, # x = -2 #, # x = 1 + -sqrt (2) i #

Explicació:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Se'ns diu que # (x-5) # és un factor, així que separeu-ho:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Se'ns diu que # (x + 2) # és també un factor, per tant, separeu-ho:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

El discriminant del factor quadràtic restant és negatiu, però encara podem utilitzar la fórmula quadràtica per trobar les arrels complexes:

# x ^ 2-2x + 3 # està a la forma # ax ^ 2 + bx + c # amb # a = 1 #, # b = -2 # i # c = 3 #.

Les arrels es donen per la fórmula quadràtica:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Provem sense saber-ho # (x-5) # i # (x + 2) # són factors.

El terme constant és igual al producte de les arrels

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Aquest coeficient és un valor sencer que té els seus factors #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Intentant aquests valors podem veure-ho

#p (-2) = p (5) = 0 obtenint dues arrels.

Podem representar el polinomi com

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Es calcula el costat dret i es comparen els dos costats

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Resolució de # (a, b) # obtenim # a = -2, b = 3 #

Avaluar les arrels de # x ^ 2-2x + 3 = 0 # obtenim # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #