Com es troba la inversa d’A = ((2, 4, 1), (- 1, 1, -1), (1, 4, 0))?

Resposta:

La matriu invertida és: #((-4,-4,5),(1,1,-1),(5,4,-6))#

Explicació:

Hi ha moltes maneres d'invertir les matrius, però per a aquest problema he utilitzat el mètode de transposició del cofactor.

Si ho imaginem

#A = ((vecA), (vecB), (vecC)) #

I que:

#vecA = (2,4,1) #

#vecB = (-1,1, -1) #

#vecC = (1,4,0) #

A continuació, podem definir vectors recíprocs:

#vecA_R = vecB xx vecC #

#vecB_R = vecC xx vecA #

#vecC_R = vecA xx vecB #

Cadascun es calcula fàcilment utilitzant la regla determinant dels productes creuats:

#vecA_R = | (hati, hatj, hatk), (- 1,1, -1), (1,4,0) | = (4, -1, -5) #

#vecB_R = | (hati, hatj, hatk), (- 1,4,0), (2,4,1) | = (4, -1, -4) #

#vecC_R = | (hati, hatj, hatk), (2,4,1), (- 1,1, -1) | = (-5,1,6) #

Podem utilitzar-les per a construir el cofactor de transposició de # M #, # barM #, com a tal:

#barM = ((vecA_R ^ T, vecB_R ^ T, vecC_R ^ T)) = ((4,4, -5), (- 1, -1,1), (- 5, -4,6)) #

Els vectors recíprocs i la matriu de transposició cofactor tenen dues propietats interessants:

# vecA * vecA_R = vecB * vecB_R = vecC * vecC_R = det (M) #

i

# M ^ -1 = barM / detM #

Per tant, podem determinar que:

#det (M) = vecC * vecC_R = (1,4,0) * (- 5,1,6) = -1

Això significa que:

# M ^ -1 = -barM / 1 = - ((4,4, -5), (- 1, -1,1), (- 5, -4,6)) = ((-4, -4, 5), (1,1, -1), (5,4, -6)) #