Com es divideix (-i-5) / (i -6) en forma trigonomètrica?

# (- i-5) / (i-6) #

Permeteu-me reorganitzar-ho

# (- i-5) / (i-6) = (- 5-i) / (- 6 + i) = (- (5 + i)) / (- 6 + i) = (5 + i) / (6-i) #

Primer de tot hem de convertir aquests dos nombres en formes trigonomètriques.

Si # (a + ib) # és un nombre complex, # u # és la seva magnitud i # alfa # és llavors el seu angle # (a + ib) # en forma trigonomètrica s'escriu com #u (cosalpha + isinalpha) #.

Magnitud d’un nombre complex # (a + ib) # es dóna per#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # i el seu angle es dóna per # tan ^ -1 (b / a) #

Deixar # r # ser la magnitud de # (5 + i) # i # theta # ser el seu angle.

Magnitud de # (5 + i) = sqrt (5 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (25 + 1) = sqrt26 = r #

Angle de # (5 + i) = Tan ^ -1 (1/5) = teta #

#implies (5 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Deixar # s # ser la magnitud de # (6-i) # i # phi # ser el seu angle.

Magnitud de # (6-i) = sqrt (6 ^ 2 + (- 1) ^ 2) = sqrt (36 + 1) = sqrt37 = s

Angle de # (6-i) = Tan ^ -1 ((- 1) / 6) = phi #

#implies (6-i) = s (Cosphi + isinphi) #

Ara,

# (5 + i) / (6-i) #

# = (r (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = r / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #)

# = r / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = r / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = r / s * (cos (theta-phi) + isina (theta-phi)) / (1) #

# = r / s (cos (theta-phi) + isina (theta-phi)) #

Aquí tenim totes les coses presents, però si aquí substituïm directament els valors, la paraula seria tediosa per trobar #theta -phi # així que anem a descobrir primer # theta-phi #.

# theta-phi = tan ^ -1 (1/5) -tan ^ -1 ((- 1) / 6) #

Ho sabem:

# tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a-b) / (1 + ab)) #

#implies tan ^ -1 (1/5) -tan ^ -1 ((- 1) / 6) = tan ^ -1 (((1/5) - (- 1/6)) / (1+ (1 / 5) ((- 1) / 6))) #

# = tan ^ -1 ((6 + 5) / (30-1)) = tan ^ -1 (11/29) #

#implies theta -phi = tan ^ -1 (11/29) #

# r / s (cos (theta-phi) + isina (theta-phi)) #

# = sqrt26 / sqrt37 (cos (tan ^ -1 (11/29)) + isin (tan ^ -1 (11/29)) #

# = sqrt (26/37) (cos (tan ^ -1 (11/29)) + isin (tan ^ -1 (11/29)) #

Aquesta és la vostra resposta final.

També ho podeu fer per un altre mètode.

En dividir primer els nombres complexos i després canviar-lo a la forma trigonomètrica, la qual cosa és molt més fàcil que això.

Primer de tot, simplifiquem el número donat

# (5 + i) / (6-i) #.

Multiplicar i dividir pel conjugat del nombre complex present al denominador, és a dir # 6 + i #.

# (5 + i) / (6-i) = ((5 + i) (6 + i)) / ((6-i) (6 + i)) = (30 + 5i + 6i + i ^ 2) / (6 ^ 2-i ^ 2) #

# = (30 + 11i-1) / (36 - (- 1)) = (29 + 11i) / (36 + 1) = (29 + 11i) / 37 = 29/37 + (11i) / 37 #

# (5 + i) / (6-i) = 29/37 + (11i) / 37 #

Deixar # t # ser la magnitud de # (29/37 + (11i) / 37) # i # beta # ser el seu angle.

Magnitud de # (29/37 + (11i) / 37) = sqrt ((29/37) ^ 2 + (11/37) ^ 2) = sqrt (841/1369 + 121/1369) = sqrt (962/1369) = sqrt (26/37) = t #

Angle de # (29/37 + (11i) / 37) = Tan ^ -1 ((11/37) / (29/37)) = tan ^ -1 (11/29) = beta #

#implies (29/37 + (11i) / 37) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (29/37 + (11i) / 37) = sqrt (26/37) (Cos (tan ^ -1 (11/29)) + isin (tan ^ -1 (11/29)) #.