Com integrar int x ^ lnx?

Resposta:

#int x ^ ln (x) dx = i ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Explicació:

Comencem per una substitució en u amb # u = ln (x) #. A continuació, dividim per la derivada de # u # integrar respecte a # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u

Ara hem de resoldre'ls # x # en termes de # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x * x ^ o du = int e ^ u * (e ^ u) ^ o du = int e ^ (u ^ 2 + u)

Podríeu suposar que això no té un elemental anti-derivat, i tindreu raó. No obstant, podem utilitzar el formulari per a la funció d’error imaginari, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Per aconseguir que la nostra integral en aquest formulari, només podem tenir una variable al quadrat en l’exponent de # e #, així que hem de completar el quadrat:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2)

Ara podem introduir una substitució en u amb # t = u + 1/2 #. La derivada és justa #1#, de manera que no necessitem fer res especial per integrar respecte a # t #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = i ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = i ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Ara podem desfer totes les substitucions per obtenir:

#e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = i ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Com integrar int sec ^ -1x pel mètode de la integració per parts?

La resposta és = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C necessitem (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) La integració per parts és intu'v = uv-intuv 'Aquí tenim u' = 1, =>, u = xv = "arc "secx, =>, v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Per tant, int" arc "secxdx = x" arc "secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) Realitzeu la segona integral per substitució Let x = secu, =>, dx = secutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu ) / (tanu)

Com integrar int e ^ x sinx cosx dx?

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Primer podem utilitzar la identitat: 2sinthetacostheta = sin2x que dóna: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Ara podem utilitzar la integració per parts. La fórmula és: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx deixaré f (x) = sin ( 2x) i g '(x) = e ^ x / 2. Aplicant la fórmula, obtenim: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Ara podem aplicar la integració per parts una vegada més , aquesta vegada amb f (x) = cos (2x) i g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2

Com integrar int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx per fraccions parcials?

4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C Així doncs, primer escrivim això: (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x +2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 A més, obtenim: (6x ^ 2 + 13x + 6 ) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2+ (x + 2) (B (x + 1) + C) Usant x = -2 ens dóna: 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 A = 4 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) Llavors usant x = -1 ens dóna: 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = CC = -1