Com integrar int sec ^ -1x pel mètode de la integració per parts?

Resposta:

La resposta és # = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Explicació:

Necessitem

# (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

La integració per parts és

# intu'v = uv-intuv '#

Aquí tenim

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Per tant, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Realitzeu la segona integral per substitució

Deixar # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Deixar # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

Tan, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Finalment, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Resposta:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Explicació:

Alternativament, podem utilitzar una fórmula poc coneguda per treballar integrals de funcions inverses. La fórmula indica:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

on # f ^ -1 (x) # és la inversa de #f (x) # i #F (x) # és l'anti-derivat de #f (x) #.

En el nostre cas, tenim:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Ara tot el que necessitem per treballar és l’anti-derivat # F #, que és la integral secant familiar:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Posar-ho de nou a la fórmula dóna la nostra resposta final:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Hem de tenir cura de simplificar #tan (sec ^ -1 (x)) # a #sqrt (x ^ 2-1) # perquè la identitat només és vàlida si # x # és positiu. Tenim sort, però, perquè podem arreglar-ho posant un valor absolut a l'altre terme dins del logaritme. Això també elimina la necessitat del primer valor absolut, ja que tot el que hi ha dins del logaritme sempre serà positiu:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #