Utilitzeu el primer principi per diferenciar? y = sqrt (sinx)

Resposta:

El primer pas és reescriure la funció com a exponent racional #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

Explicació:

Després de tenir la vostra expressió en aquesta forma, la podeu diferenciar mitjançant la regla de cadena:

En el vostre cas: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

Llavors, # 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) # quina és la vostra resposta

Resposta:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

Explicació:

Utilitzant la definició de límit de la derivada tenim:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

Així, per a la funció donada, on #f (x) = sqrt (sinx) #, tenim:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

# lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

A continuació, podem utilitzar la identitat trigonomètrica:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

Donant-nos:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) # #

# lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) + (cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# lim_ (h rarr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

A continuació, utilitzem dos límits de càlcul molt estàndard:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1, i #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #, i #

I ara podem avaluar els límits:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) # #

# (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #