Diferenciar-se del primer principi x ^ 2sin (x)?

Resposta:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # des de la definició de la derivada i prenent alguns límits.

Explicació:

Deixar #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Llavors

# (df) / dx = lim_ {h a 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h a 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h a 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h a 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h a 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

per una identitat trigonomètrica i algunes simplificacions. En aquestes quatre últimes línies tenim quatre termes.

El primer terme és igual a 0, ja que

#lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h a 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, que es pot veure, p. ex. de l'expansió de Taylor o de la regla de l'Hospital.

El Quart terme també s'esvaeix perquè

#lim_ {h a 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h a 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Ara el segon terme simplifica a

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h a 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, des de llavors

#lim_ {h a 0} (sin (h)) / h = 1 #, com es mostra aquí, o, per exemple, La regla de l'Hospital (vegeu més avall).

El tercer terme simplifica a

# lim_ {h a 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h a 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

que després afegint al segon terme dóna això

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Nota: Per regla de l'Hospital, des de # lim_ {h a 0} sin (h) = 0 i # lim_ {h a 0} h = 0 # i les dues funcions són diferenciables al voltant # h = 0 #, ho tenim

# lim_ {h a 0} sin (h) / h = lim_ {h a 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h a 0} cos (h) = 1.

El límit # lim_ {h a 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # es pot mostrar de manera similar.