Diferenciar-se del primer principi x ^ 2sin (x)?

Resposta:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # des de la definició de la derivada i prenent alguns límits.

Explicació:

Deixar #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Llavors

# (df) / dx = lim_ {h a 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h a 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h a 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h a 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h a 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

per una identitat trigonomètrica i algunes simplificacions. En aquestes quatre últimes línies tenim quatre termes.

El primer terme és igual a 0, ja que

#lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h a 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, que es pot veure, p. ex. de l'expansió de Taylor o de la regla de l'Hospital.

El Quart terme també s'esvaeix perquè

#lim_ {h a 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h a 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Ara el segon terme simplifica a

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h a 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, des de llavors

#lim_ {h a 0} (sin (h)) / h = 1 #, com es mostra aquí, o, per exemple, La regla de l'Hospital (vegeu més avall).

El tercer terme simplifica a

# lim_ {h a 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h a 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

que després afegint al segon terme dóna això

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Nota: Per regla de l'Hospital, des de # lim_ {h a 0} sin (h) = 0 i # lim_ {h a 0} h = 0 # i les dues funcions són diferenciables al voltant # h = 0 #, ho tenim

# lim_ {h a 0} sin (h) / h = lim_ {h a 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h a 0} cos (h) = 1.

El límit # lim_ {h a 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # es pot mostrar de manera similar.

Suposem que la població d’una colònia de bacteris augmenta de manera exponencial. Si la població al principi és de 300 i 4 hores més tard és de 1800, quant de temps (des del principi) es necessitarà que la població arribi als 3000?

Mirar abaix. Hem d’obtenir una equació de la forma: A (t) = A (0) e ^ (kt) On: A (t) és l’amounf després del temps t (en aquest cas). A (0) és l'import inicial. k és el factor de creixement / decadència. t és el temps. Ens donen: A (0) = 300 A (4) = 1800, és a dir, després de 4 hores. Hem de trobar el factor de creixement / decadència: 1800 = 300e ^ (4k) Divideix per 300: e ^ (4k) = 6 Prenent logaritmes naturals de tots dos costats: 4k = ln (6) (ln (e) = 1 logaritme de la base sempre és 1) Dividiu-vos per 4: k = ln (6) / 4 Temps per arribar a 3000: 3000 = 300e ^ ((

Diferenciar cos (x ^ 2 + 1) utilitzant el primer principi de la derivada?

-sin (x ^ 2 + 1) * 2x d / dx cos (x ^ 2 + 1) Per a aquest problema, hem d'utilitzar la regla de la cadena, així com el fet que la derivada de cos (u) = -sin ( u). La regla de cadena bàsicament indica que podeu derivar primer la funció externa respecte a la que hi ha dins de la funció i, a continuació, multipliqueu-la per la derivada del que hi ha dins de la funció. Formalment, dy / dx = dy / (du) * (du) / dx, on u = x ^ 2 + 1. En primer lloc, hem de resoldre la derivada del bit dins del cosinus, és a dir, 2x. Després, després d'haver trobat la derivada del cosinus (un si

Utilitzeu el primer principi per diferenciar? y = sqrt (sinx)

El primer pas és reescriure la funció com a exponent racional f (x) = sin (x) ^ {1/2} Després de tenir la vostra expressió en aquesta forma, la podeu diferenciar amb la regla de cadena: en el vostre cas: u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) Llavors, 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) que és el vostre resposta