Com soluciono 2sinx = cos (x / 3)?

Resposta:

Les nostres solucions aproximades són:

# x = {163,058 ^ circ, 703,058 ^ circ, 29,5149 ^ circ, 569,51 ^ circ, -192,573 ^ circ, o -732,573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad

per a sencer # k #.

Explicació:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Aquesta és una cosa bastant dura.

Comencem per la configuració # y = x / 3 # tan # x = 3y # i substitució. A continuació, podem utilitzar la fórmula d’angles triples:

# 2 sin (3y) = cos i #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos i #

Anem a quadrar així que escrivim tot en termes de # sin ^ 2 y #. Això probablement introduirà arrels estranyes.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Deixar # s = sin ^ 2 y #. Es denominen senyals quadrats s'estén en Trigonometria Racional.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Aquesta és una equació cúbica amb tres arrels reals, candidats als senyals quadrats de # 3x. Podríem utilitzar la fórmula cúbica, però això només donarà lloc a algunes arrels cubs de nombres complexos que no són especialment útils. Fem una solució numèrica:

# s 0.66035 o s 0.029196 o s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Treballem en graus. Les nostres possibles solucions aproximades són:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) aproximadament pm 163,058 ^ circ o pm 703,058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) aproximadament pm 29.5149 ^ circ o pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) aproximadament pm 192.573 ^ circ o pm 732.573 ^ circ #

Anem a veure si alguna d'aquestes funcions. Deixar #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) aproximadament 0.00001 quad # aquesta és una solució.

#e (-163.058 ^ circ) aprox. -1,17 quad # no és una solució.

És evident que com a màxim un # pm # el parell funcionarà.

Deu més per anar.

#e (703.058 ^ circ) aproximadament 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # no

#e (29.5149 ^ circ) aproximadament 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # no

#e (569.51 ^ circ) aproximadament 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # no

#e (192.573 ^ circ) aproximadament -87 quad # no

#e (-192.573 ^ circ) aproximadament 0.00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ circ) aproximadament -87 quad # no

#e (-732.573 ^ circ) aproximadament 0.00001 quad sqrt #

L’arcsin ve amb un # + 360 ^ circ k #, i el factor de tres ho fa # 1080 ^ circ k. #

D'acord, les nostres solucions aproximades són:

# x = {163,058 ^ circ, 703,058 ^ circ, 29,5149 ^ circ, 569,51 ^ circ, -192,573 ^ circ, -732,573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad per a sencer # k #.