Tenim:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-i ^ 2) #
Pas 2: identificar els punts crítics
Un punt crític es produeix en una solució simultània de
# f_x = f_y = 0 iff (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial i) = 0 #
és a dir, quan:
# {: (f_x = i -2x e ^ (- x ^ 2-i ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-i ^ 2), = 0, … B):}} # simultàniament
Des del qual podem establir:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-i ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-i ^ 2) = i / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Per tant, exigim que:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Llavors tenim dues solucions (de pla infinit):
#:. x = + - y #
I així conclouem que hi ha infinits punts crítics al llarg de les longituds senceres de la intersecció de la corba i dels dos plans
Pas 3: classificar els punts crítics
Per tal de classificar els punts crítics realitzem una prova similar a la d'un càlcul de variables utilitzant les segones derivades parcials i la matriu de Hesse.
# Delta = H f (x, y) = (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parcial ^ 2 f) / (parcial x ^ 2), (parcial ^ 2 f) / (parcial x parcial)), ((parcial ^ 2 f) / (parcial i parcial x), (parcial ^ 2 f) / (parcial i ^ 2)) |
= f (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
A continuació, depenent del valor de
# {: (Delta> 0, "Hi ha màxim si" f_ (xx) <0), (, "i un mínim si" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "hi ha un punt de selle"), (Delta = 0, "Es necessita una anàlisi addicional"):}
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-i ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-i ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-i ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-i ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
= e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 i ^ 2 + 4) #
Hem de considerar el signe de
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 i ^ 2 + 4 #
Així, depenent del signe
Aquí hi ha un diagrama de la funció
I aquí hi ha una trama de la funció que inclou els plans
