Com es resol la desigualtat 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Resposta:

#x <- 5/2 color (blanc) (xx) # o bé #color (blanc) (xx) -1 <x <2 #

Explicació:

Primer de tot, tingueu en compte que la vostra desigualtat només es defineix si els vostres denominadors no són iguals a zero:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1

#x - 2! = 0 <=> x! = 2

Ara, el següent pas seria "desfer-vos" de les fraccions. Això es pot fer si multipliqueu ambdós costats de la desigualtat # x + 1 # i # x-2 #.

Tanmateix, heu de tenir cura, ja que si multipliqueu una desigualtat amb un nombre negatiu, heu de capgirar el signe de desigualtat.

=========================================

Considerem els diferents casos:

cas 1: #color (blanc) (xxx) x> 2 #:

Tots dos #x + 1> 0 # i #x - 2> 0 # mantingui Per tant, obtindreu:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… calcular # -3x # i #+2# a ambdós costats…

# -2x> 5 #

… dividiu per #-2# a ambdós costats. Com #-2# és un nombre negatiu, heu de capgirar el signe de desigualtat …

#x <- 5/2 #

No obstant això, no hi ha cap # x # que satisfà tant la condició #x> 2 # i #x <- 5/2 #. Per tant, no hi ha cap solució en aquest cas.

=========================================

cas 2: #color (blanc) (xxx) -1 <x <2 #:

Aquí, #x + 1> 0 # però #x - 2 <0 #. Per tant, heu de donar la volta a la senyal de desigualtat una vegada i obtindreu:

#color (blanc) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (blanc) (x) -2x <5 #

… dividiu per #-2# i torneu el signe de desigualtat de nou …

#color (blanc) (xxx) x> -5 / 2 #

La desigualtat #x> -5 / 2 # és cert per a tots # x # en l’interval # -1 <x <2 #. Així, en aquest cas, tenim la solució # -1 <x <2 #.

=========================================

cas 3: #color (blanc) (xxx) x <-1 #:

Aquí, els dos denominadors són negatius. Per tant, si multipliqueu la desigualtat amb tots dos, haureu de donar la volta a la senyal de desigualtat dues vegades i obtindreu:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (blanc) (i) -2x> 5 #

#color (blanc) (xxi) x <- 5/2 #

Com a condició #x <-5 / 2 # és més restrictiu que la condició #x <-1 #, la solució per a aquest cas és #x <- 5/2 #.

=========================================

En total, la solució és

#x <- 5/2 color (blanc) (xx) # o bé #color (blanc) (xx) -1 <x <2 #

o, si preferiu una notació diferent,

#x a (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Resposta:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Explicació:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

deixeu passar a la banda esquerra de la desigualtat restant # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Ara hem de posar totes les inequacions en el mateix denominador. La part amb (x + 1) es multiplica per # (x-2) / (x-2) # (que és 1!) i viceversa:

# (x-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

Hem fet el truc anteriorment, per tenir tota la inequació amb el mateix denominador:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (x + 1) (x-2) # correspon a una paràbola que dóna valors positius a la ineterval # -oo, -1 uu 2, + oo # i valors negatius en l’interval #-1, 2#. Recordeu que x no pot ser -1 o 2 a causa de donar el denominador zero.

En el primer cas (denominador positiu), podem simplificar la inequació en:

# -2x-5> 0 # i #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

que dóna:

#x <-5 / 2 # i #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

L’intercepció dels intervals anteriors dóna #x <-5 / 2 #.

En el segon cas, el denominador és negatiu, de manera que per al resultat que proporcioni un nombre positiu, el numerador ha de ser negatiu:

# -2x-5 <0 # i # x in -1, 2 #

que dóna

#x> -5 / 2 #. i # x in -1, 2 #

La intercepció dels intervals dóna # x in -1, 2 #

Unint les solucions dels dos casos, obtenim:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #