Com es simplifica 2cos ^ 2 (4θ) -1 amb una fórmula d’angle doble?

Resposta:

# 2 cos ^ 2 (4 heta) - 1 = cos (8 heta) #

Explicació:

Hi ha diverses fórmules de doble angle per al cosinus. Normalment, el preferit és el que converteix un cosinus en un altre cosinus:

cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

De fet, podem prendre aquest problema en dues direccions. La manera més senzilla és dir # x = 4 així ho aconseguim

# cos (8 heta) = 2 cos ^ 2 (4 heta) - 1 #

que és bastant simplificat.

La manera habitual d’aconseguir-ho és aconseguir això en termes de # cos theta #. Comencem deixant-ho # x = 2

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 heta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 heta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 heta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 heta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Si establim # x = cos # theta tindríem el vuitè polinomi de Chebyshev del primer tipus, # T_8 (x) #, satisfactòria

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Suposo que el primer camí era probablement el que estaven després.