Com es resol la desigualtat polinòmica i indica la resposta en la notació d'interval donada x ^ 6 + x ^ 3> = 6?

Resposta:

La desigualtat és quadràtica en forma.

Explicació:

Pas 1: Necessitem zero per un costat.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Pas 2: Atès que el costat esquerre consisteix en un terme constant, un terme mig i un terme l'exponent és el doble del que a mig terme, aquesta equació és quadràtica "en forma". O ho fem com un quadràtic, o bé fem servir la fórmula quadràtica. En aquest cas, podem factoritzar.

Tal com # y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (i - 2) #, ara tenim

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2) #.

Tractem # x ^ 3 # com si fos una simple variable, y.

Si és més útil, pot substituir-lo #y = x ^ 3 #, a continuació, resoldre per y, i finalment substituir cap a x.

Pas 3: Defineix cada factor igual a zero per separat i resolgui l’equació # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #. Trobem on la part esquerra és igual a zero, ja que aquests valors seran els límits de la nostra desigualtat.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

#x = -root (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

#x = root (3) 2 #

Aquestes són les dues arrels reals de l’equació.

Separeixen la línia real en tres intervals:

# (- oo, -root (3) 3); (-root (3) 3, root (3) 2); i (root (3) 2, oo) #.

Pas 4: Determineu el signe del costat esquerre de la desigualtat en cadascun dels intervals anteriors.

L’ús de punts de prova és el mètode habitual. Seleccioneu un valor per cada interval i substituïu-lo per x al costat esquerre de la desigualtat. Podríem escollir -2, després 0, i després 2.

Descobriràs que el costat esquerre de la mà

positiu # (- oo, -root (3) 3);

negatiu # (- root (3) 3, root (3) 2);

i positiu # (root (3) 2, oo) #.

Pas 5: Completa el problema.

Ens interessa saber on # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

Sabem ara on el costat esquerre és igual a 0, i sabem on és positiu. Escriviu aquesta informació en forma d’interval com:

# (- oo, -root (3) 3 uu root (3) 2, oo) #.

NOTA: Tenim els claudàtors perquè els dos costats de la desigualtat són iguals en aquests punts, i el problema original requereix per a nosaltres fer incloure aquests valors. S'ha utilitzat el problema #># en lloc de # ge #, hauríem utilitzat parèntesis.