Què és l'ortocentre d'un triangle amb cantonades a (5, 9), (4, 3) i (1, 5) #?

Resposta:

# (11 / 5,24 / 5) o (2.2,4.8) #

Explicació:

Repetint els punts:

#A (5,9) #

#B (4,3) #

#C (1,5) #

L’ortocentre d’un triangle és el punt on es compleix la línia de les altures relativament a cada costat (passant pel vèrtex oposat). Per tant, només necessitem les equacions de 2 línies.

El pendent d’una línia és # k = (Delta y) / (Delta x) # i el pendent de la línia perpendicular a la primera és # p = -1 / k # (Quan #k! = 0 #).

# AB-> k = (3-9) / (4-5) = (- 6) / (- 1) = 6 # => # p = -1 / 6 #

# BC-> k = (5-3) / (1-4) = 2 / (- 3) = - 2/3 # => # p = 3/2 #

# CA-> k = (9-5) / (5-1) = 4/4 = 1 # => # p = -1

(Hauria de ser obvi que si escollim, per a una de les equacions el pendent # p = -1 la nostra tasca seria més senzilla. Escolliré indiferentment, escolliré la primera i la segona pendent)

Equació de la línia (passant per # C #) en la qual l'alçada perpendicular a AB es troba

# (y-5) = - (1/6) (x-5) # => #y = (- x + 1) / 6 + 5 # => #y = (- x + 31) / 6 #1

Equació de la línia (passant per # A #) en què es posa l’altura perpendicular a BC

# (y-9) = (3/2) (x-5) # => # y = (3x-15) / 2 + 9 # => # y = (3x + 3) / 2 # 2

Combinant equacions 1 i 2

# {y = (- x + 31) / 6 #

# {y = (3x + 3) / 2 # => # (- x + 31) / 6 = (3x + 3) / 2 # => # -2x + 62 = 18x + 18 # => # x = 44/20 # => # x = 11/5 #

# -> y = (- 11/5 + 31) / 6 = (- 11 + 155) / 30 = 144/30 # => # y = 24/5 #

Així, l’ortocentre és #(11/5,24/5)#