Suposeu que hi hagi marcians i terrícoles en una conferència de pau. Per assegurar-vos que els marcians romanen pacífics a la conferència, hem d'assegurar-nos que no hi hagi dos marcians asseguts, de manera que entre dos marcians hi hagi almenys un terrestre (vegeu detall)

Resposta:

a) # (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) # (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #

Explicació:

A més d’un raonament addicional, utilitzarem tres tècniques habituals per al recompte.

En primer lloc, utilitzarem el fet que, si n'hi ha # n # maneres de fer una cosa i # m maneres de fer una altra, assumint que les tasques són independents (el que podeu fer perquè un no depèn del que heu fet a l’altre), hi ha # nm # maneres de fer les dues coses. Per exemple, si tinc cinc samarretes i tres parells de pantalons, hi ha #3*5=15# vestits que puc fer.

En segon lloc, utilitzarem aquest nombre de maneres d’ordenar # k # objectes és #k! #. Això és perquè hi ha # k # maneres de triar el primer objecte, i després # k-1 # maneres de triar el segon, i així successivament. Així, el nombre total de maneres és #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Finalment, utilitzarem aquest nombre de maneres d’escollir # k # objectes d’un conjunt de # n # objectes és # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (pronunciat com n escolliu k). Aquí es mostra un esquema de com arribar a aquesta fórmula.

a) Si no tenim en compte les particions inicialment, hi ha #m! maneres d 'ordenar als marcians i #n! # maneres d'ordenar els terrícoles. Finalment, hem de veure on estan situats els marcians. Com que cada marcià ha de ser col·locat en un extrem o entre dos terrícoles, hi ha # n + 1 # llocs que poden seure (un a l'esquerra de cada terrícola, i després un més a l'extrem dret). Com hi ha # m Els marcians, això significa que hi ha # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # possibles maneres de col·locar-los. Així, doncs, el nombre total de seients és possible

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Aquest problema és similar a l'anterior. Per simplificar les coses, anem a escollir un Earthling i cridar-li el president. Com que no importa com es fa girar un cercle, en lloc de referir-se a les disposicions de seients basades en un ordre absolut, considerarem la disposició dels seients basant-se en la seva relació amb el president.

Igual que anteriorment, si partim del president i continuem cap a les agulles del rellotge al voltant del cercle, podem comptar el nombre de maneres de demanar els assistents restants. Com hi ha # m Marcians i # n-1 # els terrícoles que queden, hi ha #m! maneres d 'ordenar als marcians i # (n-1)! # maneres d’ordenar els Earthlings restants.

A continuació, un cop més necessitem situar els marcians. Aquesta vegada no tenim un lloc addicional al final, per tant, només hi ha # n # llocs on poden seure. Després hi ha # ((n), (m)) = (n!) / (m! (n-m)!) # maneres de col·locar-los. Així, doncs, el nombre total de seients és possible

# (n-1)! m! (n!) / (m! (n-m)!) = (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #