Quina és la distància entre (0, 0, 8) i (9, 2, 0)?

Resposta:

La distància és #sqrt (149) #

Explicació:

La distància entre dos punts

# (x_1, y_1, z_1) #

# (x_2, y_2, z_2) #

in # RR ^ 3 # (tres dimensions) és donat per

# "distància" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Aplicant-lo al problema actual, entre la distància #(0, 0, 8)# i #(9, 2, 0)# com

# "distància" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

A continuació, s’explica d’on prové la fórmula de distància i no és necessari per entendre la solució anterior.

La fórmula de distància donada anteriorment sembla sospitosament similar a la fórmula de distància # RR ^ 2 # (dues dimensions):

# "distància" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

que prové d'una aplicació senzilla del teorema de Pitàgores, dibuixant un triangle dret entre dos punts amb les cames paral·leles a la # x # i # y # eixos.

Resulta que, el # RR ^ 3 # La versió es pot derivar d’una manera similar. Si utilitzem (com a màxim) 3 línies per connectar dos punts, passant paral·lelament a la # x #, # y #, i # z # eixos, obtenim una caixa amb els punts com a cantonades oposades. Així doncs, descobrim com calcular la distància a través de la diagonal d’una caixa.

Estem intentant esbrinar la longitud de la línia vermella #color (vermell) (AD) #

Com aquesta és la hipotenusa del triangle # ABD #, a partir del teorema de Pitàgores:

# (color (vermell) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (color (blau) (BC)) ^ 2 #

# => color (vermell) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (color (blau) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Malauradament, no tenim la durada de #color (blau) (BD) # com a donat. Per aconseguir-ho, hem de tornar a aplicar el teorema de Pitàgores, aquest cop al triangle # BCD #.

# (color (blau) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Com només necessitem el quadrat de #color (blau) (BD) #, ara podem substituir # ("ii") # a # ("i") #:

#color (vermell) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Finalment, si ho tenim # A # a # (x_1, y_1, z_1) # i # D # a # (x_2, y_2, z_2) #, llavors tenim les longituds

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Substituir-los per l'anterior ens dóna el resultat desitjat.

Com a nota addicional, mentre que només podem fer proves geomètriques de fins a 3 dimensions, els matemàtics han generalitzat la distància a # RR ^ n # (# n # dimensions). La distància entre

# (x_1, x_2, …, x_n) # i # (y_1, y_2, …, y_n) # es defineix com

#sqrt (suma_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

que coincideix amb el patró de # RR ^ 2 # i # RR ^ 3 #.

La intensitat d’un senyal de ràdio de l’estació de ràdio varia inversament com el quadrat de la distància des de l’estació. Suposem que la intensitat és de 8000 unitats a una distància de 2 milles. Quina intensitat tindrà una distància de 6 milles?

(Appr.) 888.89 "unitat". Sigui I i d resp. denoten la intensitat del senyal de ràdio i la distància en milla) del lloc de l’estació de ràdio. Se'ns dóna això, I prop 1 / d ^ 2 rArr I = k / d ^ 2, o, Id ^ 2 = k, kne0. Quan I = 8000, d = 2:. k = 8000 (2) ^ 2 = 32000. Per tant, Id ^ 2 = k = 32000 Ara, per trobar I ", quan" d = 6:. I = 32000 / d ^ 2 = 32000/36 ~~ 888.89 "unitat".

El temps necessari per conduir una certa distància varia inversament com la velocitat. Si triguen 4 hores a conduir la distància a 40 mph, quant de temps trigarà a conduir la distància a 50 mph?

Es durà a "3.2 hores". Podeu resoldre aquest problema utilitzant el fet que la velocitat i el temps tenen una relació inversa, el que significa que quan un augmenta, l'altre disminueix i viceversa. En altres paraules, la velocitat és directament proporcional a la inversa del temps v prop 1 / t Podeu utilitzar la regla de tres per trobar el temps necessari per recórrer aquesta distància a 50 mph. Recordeu utilitzar el temps invers! "40 mph" -> 1/4 "hores" "50 mph" -> 1 / x "hores" Ara es multiplica creuada per obtenir 50 * 1/4 = 40 * 1 / xx

Shawna va notar que la distància entre la seva casa i l'oceà, que es troba a 40 quilòmetres, era una cinquena part de la distància de la seva casa a la muntanya. Com escriviu i solucioneu una equació de divisió per trobar la distància entre la casa de Shawna i les muntanyes?

L’equació que voleu és 40 = 1/5 x i la distància a les muntanyes és de 200 milles. Si deixem x representar la distància a les muntanyes, el fet que 40 milles (a l’oceà) sigui una cinquena part de la distància a les muntanyes s’escriu 40 = 1/5 x Tingueu en compte que la paraula "de" es tradueix normalment en " multiplicar "en àlgebra. Multiplica cada costat per 5: 40xx5 = x x = 200 milles